Relación entre el tipo libre de riesgo y el diferencial de crédito en el modelo de Merton

Question

Basándome en el modelo Merton de riesgo de crédito, entiendo que invertir en una deuda de riesgo es lo mismo que comprar un bono del tesoro y suscribir una opción de venta sobre los activos de la empresa con un precio de ejercicio igual al valor nominal de la deuda. Y el capital es una opción de compra sobre los activos de la empresa prestataria con un precio de ejercicio igual al valor nominal de la deuda, como se muestra en los diagramas siguientes.

Lo que no entiendo es por qué hay una relación negativa entre el tipo de interés libre de riesgo y el diferencial de crédito, que Merton ha demostrado empíricamente. Intuitivamente, habría pensado que el aumento del tipo de interés libre de riesgo reduciría los flujos de caja futuros descontados y, por tanto, conduciría a una mayor probabilidad de impago y a unos diferenciales de crédito más amplios. Encontré las posibles explicaciones en algunos trabajos de investigación:

"Cuando los tipos de interés suben, el valor de la opción de venta concedida a los accionistas disminuye debido a la disminución de los flujos de caja futuros previstos descontados, lo que a su vez aumenta el valor del bono corporativo, ya que los acreedores tienen una posición de opción de venta escrita. Este mecanismo reduce, por tanto, el rendimiento del bono, haciendo que el diferencial sobre el rendimiento de un valor equivalente sin riesgo sea más estrecho. Otra forma de interpretar el resultado es considerar que la senda de crecimiento neutral al riesgo del valor de la empresa es mayor tras un aumento de los tipos de interés, lo que lleva a una menor probabilidad de impago y/o a un menor valor de la opción de venta de protección contra el impago, aumentando en cualquier caso el valor del bono corporativo y, por tanto, estrechando el diferencial de crédito entre las obligaciones corporativas y las gubernamentales sin riesgo."

"En primer lugar, Merton (1974) sostiene que cuando el tipo de interés libre de riesgo aumenta, el valor actual del descuento del flujo de caja futuro esperado se des- cresta, reduciendo así el precio de la opción de venta. El inversor del bono corporativo vende la opción de venta, y el valor de su posición larga en el bono corporativo aumentará. El aumento del precio del bono corporativo disminuirá el diferencial".

¿Puede alguien desglosar el modelo de Merton y dar una explicación intuitiva de por qué puede haber una relación negativa entre el tipo libre de riesgo y el diferencial de crédito?

Answer 1

Según la fórmula (14) de Merton (1974), la diferencia del rendimiento al vencimiento $R(\tau)$ de la deuda de riesgo de la empresa y el tipo sin riesgo $r$ es $$\tag{14} R(\tau)-r=\frac{-1}{\tau}\log\Big\{\Phi[h_2(d,\sigma^2\tau)]+\frac{1}{d}\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]\Big\} $$ donde $\tau$ es el tiempo de maduración, y \begin{align} d&=Be^{-r\tau}/V\\ h_1&=-\Big[\frac{1}{2}\sigma^2\tau-\log d\Big]\Big/\sigma\sqrt{\tau}\\ h_2&=-\Big[\frac{1}{2}\sigma^2\tau+\log d\Big]\Big/\sigma\sqrt{\tau}\\ \end{align} y $B$ es el valor nominal de la deuda pendiente de la empresa, y $V$ es el valor inicial de la empresa y $\sigma$ es la volatilidad del valor de la empresa en un modelo lognormal.

La diferencia $R(\tau)-r$ puede verse como un diferencial de crédito. Es sencillo comprobar que \begin{align} \frac{\partial}{\partial r}\frac{d\Phi[h_2(d,\sigma^2\tau)]+\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]}{d} &=\frac{\tau\,\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]}{d} \end{align} se mantiene. Por lo tanto, \begin{align}\tag{A} \frac{\partial}{\partial r}\{R(\tau)-r\}&=-\frac{\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]}{d}\,e^{\tau(R(\tau)-r)}<0\,. \end{align}

• Esta relación negativa del tipo de interés libre de riesgo y el diferencial de crédito no se deriva empíricamente (¿dónde lo ha hecho Merton?). Es una simple consecuencia de los supuestos del modelo de Merton y se mantiene en la medida en que su modelo sea realista o no.

• La primera cita larga que has dado dice "Cuando los tipos de interés suben, [...] haciendo que el diferencial sobre el rendimiento de un valor equivalente libre de riesgo sea más estrecho". ¿No es eso lo mismo que (A)?

• La segunda cita larga llega a la misma conclusión.

Ahora a las otras afirmaciones de esos textos:

1. ¿Aumenta el valor del bono corporativo cuando suben los tipos sin riesgo?

No lo creo:

El lado derecho de (A) es mayor que $-1$ porque se puede escribir como $$ -\frac{\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]}{d}\frac{1}{\Phi[h_2(d,\sigma^2\tau)]+\frac{1}{d}\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]}>-1\,. $$ Por lo tanto (A) implica $$\tag{B} \frac{\partial}{\partial r}R(\tau)=1-\frac{\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]}{d}\,e^{\tau(R(\tau)-r)}>0\,. $$ Esto significa que el bono corporativo $\exp(-\tau R(\tau))$ debe ser disminuyendo .

2. ¿Disminuye el valor de la opción de venta concedida a los accionistas [¡sic!] cuando suben los tipos de interés? [Nótese que la opción de venta la tienen los tenedores de bonos, no los accionistas].

Esto es correcto:

La ecuación (14) puede reordenarse para expresar el precio de un bono de riesgo de cupón cero (ZCB) que amortiza la deuda de la empresa $B$ en la madurez: \begin{align}\tag{C} e^{-\tau R(\tau)}B &=\underbrace{e^{-r\tau}\,B}_{\text{riskless ZCB}}\quad \underbrace{-\,e^{-r\tau}\,B\,\Phi[-h_2(d,\sigma^2\tau)]+V\,\Phi[h_1(d,\sigma^2\tau)]}_{\text{ short put option on firm value with strike $B$}}\,. \end{align} En el modelo Black-Scholes se sabe que la posición larga de la opción de venta $P(\tau)$ tiene la siguiente derivada parcial respecto a $r\,$ : $$\tag{D} \frac{\partial}{\partial r}P(\tau)=-\tau\,e^{-\tau r}\,B\,\Phi[-h_2(d,\sigma^2\tau)]<0\,. $$

Conclusión

Cuando los tipos de interés sin riesgo suben si no me equivoco he demostrado que

a) El rendimiento del bono cupón cero de riesgo es creciente (B).

b) El precio del bono de riesgo de cupón cero es decreciente.

c) El precio de la opción de venta concedida a los tenedores de bonos es decreciente (para ellos) (D).

d) El diferencial del rendimiento del bono cupón cero sobre el tipo sin riesgo es decreciente (A).

Sólo las afirmaciones (c) y (d) están de acuerdo con sus textos citados.