Oferta única: ¿por qué el precio contabilizado es el único mecanismo posible de DSIC?

Question

Estoy leyendo el libro de Tim Roughgarden Veinte conferencias sobre la teoría algorítmica de los juegos . La conferencia 5 trata de las subastas de maximización de ingresos. Afirma que en el entorno qusilineal de un solo parámetro, para el ejemplo extremadamente simple con un solo artículo para vender y un comprador potencial:

El espacio de las subastas DSIC de revelación directa es pequeño: son precisamente las precios publicados que significa ofertas de "tómalo o déjalo".

Pregunta 1: ¿cómo se concluye esto? ¿Es por el Lemma de Myerson?

Suponiendo que lo anterior sea correcto, en el video de la conferencia Tim Roughgarden también mencionó la aleatoriedad de los precios publicados.

Pregunta 2: ¿cómo hacer la aleatorización sobre los precios publicados? ¿El mecanismo de precios contabilizados aleatorios sigue siendo DSIC?

Answer 1

Sí, esto se deduce del lema de Myerson. Una función monótona de un intervalo a $\{0,1\}$ debe ser constante o una función umbral que sea cero hasta cierto punto y luego uno (en realidad, hay dos opciones, dependiendo de si la función es continua por la izquierda o por la derecha, pero la diferencia no es esencial).

De forma más general, se pueden permitir reglas de asignación no deterministas. En ese caso, el lema de Myerson implica que la probabilidad de que el único postor obtenga el bien debe ser (débilmente) creciente, por lo que entonces hay más mecanismos DSIC. No obstante, se puede demostrar que un mecanismo de precio contabilizado es óptimo incluso sin esta restricción utilizando algunas matemáticas pesadas (el problema del vendedor es lineal y continuo, y los mecanismos de precio contabilizado son los puntos extremos del conjunto compacto y convexo de mecanismos aleatorios con probabilidad creciente en el $L_1$ -normalidad de la topología).