La regla de Bayes en "Las fuentes de la mala asignación de capital"

Question

Estoy leyendo un artículo titulado " Las fuentes de la mala asignación de capital ". En el modelo, las empresas se enfrentan a información incompleta sobre sus productividades futuras. En particular, el proceso de productividad es un AR(1):

$$ a_{it} = \rho \ a_{it-1} + \mu_{it} \hspace{2cm} \mu_{it} \sim N(0,\sigma_\mu^2) $$

En el momento t, las empresas observan la innovación del período siguiente $\mu_{it+1} $ con un ruido, de hecho observan $s_{it+1}$ :

$$s_{it+1} = \mu_{it+1} + e_{it+1}\hspace{2cm} e_{it+1} \sim N(0,\sigma_e^2) $$

Mi pregunta está aquí: Los autores derivan el valor esperado de la productividad del próximo período, condicionado a la información de la empresa en el momento t, simplemente diciendo "Una aplicación directa de regla de Bayes se obtiene:"

$$E_{it}\ [a_{it+1}]= \rho a_{it} + \frac{V}{\sigma^2_e}s_{it+1} $$

Donde V es la varianza posterior y es igual a:

$$V=\left(\frac{1}{\sigma^2_\mu}+\frac{1}{\sigma^2_e}\right)^{-1}$$

¿Qué quieren decir exactamente los autores con la regla de Bayes? ¿La famosa fórmula de la probabilidad condicional? Entonces, ¿cuál es la relación entre esa fórmula y este cálculo del valor esperado? ¿Cómo aparece la varianza en el valor esperado? Realmente no tengo ni idea.

He buscado y leído mucho pero no me ha servido de nada. Cualquier explicación se agradece mucho. Gracias

Answer 1

Se deduce inmediatamente de la actualización bayesiana mediante la regla de Bayes para variables aleatorias normales. Puede encontrar derivaciones en, por ejemplo Baley/Veldkamp (2021): Aprendizaje Bayesiano Véase también la respuesta relacionada en https://stats.stackexchange.com/questions/237037/bayesian-updating-with-new-data

La varianza aparece porque estás combinando el movimiento esperado basado en el proceso AR y la información de la señal en un solo valor. El peso relativo de las dos informaciones depende de la precisión, es decir, de la inversa de las varianzas.