El teorema afirma que si las preferencias son estrictamente convexas y fuertemente monótonas, entonces el Núcleo acaba reduciéndose al equilibrio de la Competencia cuando se replica la economía suficientes veces. ¿Cómo ocurre esto intuitivamente? ¿Es que se pueden formar coaliciones más ricas y son capaces de bloquear más y más asignaciones del núcleo?
Respuestas
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No estoy seguro de que esto cuente como intuición, sino que es la lógica de la prueba y las pruebas relacionadas. Confundiré a propósito agentes y tipos en lo que sigue, ya que la lógica funciona también en modelos límite con un continuo de agentes o para secuencias de réplicas no necesariamente.
Un equilibrio competitivo es una asignación factible junto con un sistema de precios tal que el consumo de un agente no cuesta más que su dotación y todo lo mejor cuesta más. Nos centraremos primero en esta última parte.
Supongamos que tiene una asignación $x$ que está en el núcleo de cada réplica de la economía. Está claro que es factible. Tenemos que encontrar un sistema de precios que lo soporte. Ese truco es que queremos encontrar un sistema de precios $p$ , tal que para cada agente $i$ cada paquete de productos básicos $y$ tal que $y\succ_i x_i$ uno tiene $p\cdot y>p\cdot \omega_i$ . Siempre se puede escribir $y$ como $\omega_i+z$ con $z=y-\omega_i$ . Entonces el problema se reduce a demostrar que para cada $z$ tal que $z+\omega_i\succ_i x_i$ uno tiene $p\cdot z>0$ . Queremos que todos los vectores comerciales netos beneficiosos tengan un precio positivo. Por tanto, dejemos que $$Z=\{z\in\mathbb{R}^l\mid z+\omega_i\succ_i x_i\text{ for some agent } i\}.$$
La herramienta elegida para hacer que un conjunto de paquetes de productos tenga un precio positivo es utilizar el teorema del hiperplano de separación. Para ello tenemos que separarlo de algún otro conjunto convexo, y el ortante estrictamente negativo $-\mathbb{R}^l_{++}$ funciona bien. Ningún elemento del ortante estrictamente negativo puede estar en $Z$ . Porque entonces habría algún $i$ tal que $z+\omega_i\succ_i x_i$ . Pero como $z\in -\mathbb{R}^l_{++}$ tenemos $z+\omega_i\ll\omega_i$ . Por monotonicidad estricta, $\omega_i\succ_i z+\omega_i$ . Por transitividad $\omega_i\succ_i x_i$ . Pero entonces la coalición formada por $i$ solo podría bloquear la asignación $x$ en contradicción con $x$ estar en el núcleo de cada réplica. Así que $Z\cap -\mathbb{R}^l_{++}=\emptyset$ .
Sin embargo, el conjunto $Z$ no tiene por qué ser convexo, por lo que tratamos de separar el casco convexo $\text{con(Z)}$ de $-\mathbb{R}^l_{++}$ . Esto no tiene por qué funcionar en general, la diferencia entre $Z$ y $\text{con(Z)}$ puede ser bastante grande. Pero para las réplicas grandes, un elemento de $-\mathbb{R}^l_{++}$ no puede estar en el casco convexo de $Z$ tampoco. De lo contrario, habría un vector estrictamente negativo que es una combinación convexa de elementos con coeficientes racionales. Así que supongamos $z,z'\in Z$ , $\alpha$ es un número racional entre $0$ y $1$ y $\alpha z + (1-\alpha)z'\in -\mathbb{R}^l_{++}$ . Así que escribe $\alpha$ como $p/q$ . Ahora escoge $q$ agentes, $p$ de los cuales preferiría $z$ más su dotación a lo que obtienen, y $q-p$ que prefieren $z'$ . Si uno les da exactamente eso, recibirían en promedio $\alpha z + (1-\alpha)z'\in -\mathbb{R}^l_{++}$ . Así serían mejores y hasta se podría diponer de algo de izquierda. O se distribuye lo que queda entre los agentes, que lo prefieren aún más por la monotonicidad.
Ahora bien, el argumento no ha utilizado que las preferencias sean convexas. El supuesto de convexidad sólo es necesario para demostrar la propiedad de igualdad de trato que uno necesita para expresar todo en términos de réplicas. Hay versiones del argumento no basadas en réplicas exactas que prescinden de cualquier supuesto de convexidad. También se puede hacer que el argumento funcione cuando las preferencias no son transitivas, pero esto requiere un poco más de esfuerzo.
Sean
Puntos
152
Puedo intentar explicar cómo se encoge el núcleo con un ejemplo:
Consideremos una economía de intercambio puro con dos consumidores $A$ y $B$ y dos bienes $X$ y $Y$ . $A$ tiene una dotación de $1$ unidad de $X$ y $B$ La dotación de la empresa es $1$ unidad de $Y$ . Así que, $\omega_A = (1,0)$ y $\omega_B = (0,1)$ . Supongamos que las funciones de utilidad de $A$ y $B$ son idénticos y de esta forma: $u_A(x_A, y_A) = x_Ay_A$ y $u_B(x_B, y_B) = x_By_B$ . En esta configuración, una asignación en la que $A$ consume todo y $B$ no consume nada es una asignación de núcleo. Consideremos ahora una réplica doble de la economía anterior. Ahora tenemos dos agentes de tipo A y 2 agentes de tipo B. Si consideramos ahora la asignación en la que el tipo A consume $(1,1)$ cada uno y el tipo B no consume nada. Esta asignación ya no estará en el núcleo, porque un agente de tipo A y dos de tipo B pueden redividir su dotación total de 1 unidad de X y 2 unidades de Y para que todos los miembros del grupo estén mejor. Podemos considerar este reparto: el tipo A obtiene $(1-2\epsilon, 2- 2\epsilon)$ y cada uno de los agentes de tipo B recibe $(\epsilon, \epsilon)$ . Para $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como para que esto funcione.
