Opción Americana bajo el precio de acciones Ornstein-Uhlenbeck

Question

Me encontré con el siguiente problema:

Para el proceso Ornstein-Uhlenbeck $(X_t, 0\leq t\leq T)$ con condición inicial $X_0 = x$, encuentra el tiempo de parada $\tau$ que maximiza $\mathbb{E}[e^{-r\tau}(S - X_\tau)^+]$, para $r\geq 0$ y $S > 0$.

Soy consciente de que, si el proceso fuera un movimiento Browniano geométrico en lugar de un Ornstein-Uhlenbeck, ese problema se traduciría en el ejercicio óptimo de una opción de venta americana, donde $T$, $S$ y $r$ resultarían ser la fecha de vencimiento, el precio de ejercicio y la tasa de descuento (que se toma como igual a la tasa de interés).

Me pregunto si el problema sigue siendo relevante desde una perspectiva financiera. Sé que un proceso Ornstein-Uhlenbeck podría ser utilizado para modelar tasas de interés, y en ese caso, se conoce como modelo de Vasicek o modelo de Hull-White, pero la forma en que se usa en el problema sugiere que modela el precio de las acciones en lugar de la tasa de interés. Se podría argumentar que el problema podría representar el ejercicio óptimo de una opción de tasa de interés de estilo americano, pero aun así, la tasa de interés ya se considera en el descuento exponencial.

Supongo que la pregunta se reduce a: ¿Se utiliza un proceso Ornstein-Uhlenbeck para modelar precios de acciones? ¿Puedes pensar en una aplicación razonable del problema descrito anteriormente?

Por si acaso, dejo aquí la dinámica del proceso Ornstein-Uhlenbeck: $$ \mathrm{d}X_t = a(b - X_t)\mathrm{d}t + c\mathrm{d}W_t, \quad X_0 = x,\quad a > 0, b \in \mathbb{R}, c > 0,\quad 0\leq t\leq T. $$

Answer 1

Si uno insiste en los principios básicos, entonces los procesos OU deben limitarse a variables que no describan precios de activos comerciales. Esto limita a OU a -como dices- tasas de interés, por ejemplo.

Un proceso que exhibe reversión a la media bajo la medida neutral al riesgo realmente no puede usarse para modelar el proceso de precios de un activo como una acción o una tasa de cambio en un modelo libre de arbitraje. Esto se debe a que $$ S_te^{(\delta-r)t}\quad\text{ resp . }\quad X_te^{(r_f-r_d)\,t} $$ deben ser martingalas, lo que solo permite EDEs $$ \frac{dS_t}{S_t}=(r-\delta)\,dt+\sigma\,dW_t\quad\text{ resp . }\quad\frac{dX_t}{X_t}=(r_f-r_d)\,dt+\sigma\,dW_t $$ Aquí uso parámetros constantes solo por simplicidad. El punto es que en general no es posible una deriva de reversión a la media en estas ecuaciones. Al menos no bajo la medida neutral al riesgo si uno insiste en un modelo libre de arbitraje de libro de texto.

Dicho esto: Es bastante posible que haya clases de activos que estén mal descritas por tales EDEs. Los precios de materias primas podrían ser tales que exhiban todo tipo de características extrañas como la estacionalidad, quizás incluso la reversión a la media.

Al final, el modelo será un compromiso de buenas prácticas entre los principios básicos y el comportamiento realista.