Problema de maximización de la utilidad en dos etapas

Question

En realidad, no sé cómo resolver este problema de maximización de la utilidad, sólo sé utilizar la COF y la restricción presupuestaria para resolver la demanda. Apreciaré si alguien me dice el procedimiento para resolver este problema.

Answer 1

Considere la Definición de Wikipedia (tomado del libro de Hal Varian) de una función de utilidad cuasi-lineal

$$u(w,x_1,...,x_n) = w + h(x_1,...,x_n),$$

donde $h$ es estrictamente cóncavo.

El ejemplo de este ejercicio no es, según esta definición, una función de utilidad casi lineal porque $h(x_1,...,x_n)$ que en este caso es $x_2^\alpha x_3^{1-\alpha}$ no es estrictamente cóncavo, sino cóncavo. Esto es así porque $x_2^\alpha x_3^{1-\alpha}$ tiene exponentes que suman 1 en lugar de ser menores que uno.

El caso que nos ocupa se acerca más al de los sustitutos perfectos. Sin embargo, es un poco más complicado porque uno de los bienes es un bien compuesto.

Necesitas saber dos cosas para resolver el ejercicio:

A. Hay que saber resolver el caso de los sustitutos perfectos

B. Necesitas saber cómo resolver el caso de las preferencias del CD

Consideremos primero el caso de los sustitutos perfectos

$$\max_{x_1,z}\ \ u(x_1,z) = x_1 + \bar a z \\ s.t. \ \ x_1 + p_zz = I$$

por cada moneda gastada en $x_1$ el agente obtiene 1 punto de utilidad y por cada $p_z$ monedas gastadas en $z$ el agente recibe $\bar a$ puntos de utilidad, lo que equivale a $\bar a/p_z$ punto de utilidad por moneda. Por lo tanto, si $1>\bar a/p_z$ el agente sólo comprará $x_1$ y la demanda de $x_1$ es simplemente $I$ unidades porque el precio de $x_1$ se estandariza a $1$ . Si $1<\bar a/p_z$ el agente sólo comprará $z$ y la demanda de $I/p_z$ . Por último, si $1=\bar a/p_z$ el agente es indiferente entre $x_1$ y $z$ y la demanda de $x_1$ es entonces cualquier cantidad de unidades en $[0,I]$ con la demanda de $z$ ser $(I-x_1)/p_z$ .

Consideremos a continuación el caso de las preferencias de CD con

$$h(x_2,x_3) = \left(\frac{x_2}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{x_3}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}$$

Nótese que la función es homogénea de grado 1, por lo que tiene rendimientos constantes a escala. En este caso, existe un precio para cada punto de utilidad que se puede encontrar resolviendo el problema de minimización del gasto

$$\min_{x_2,x_3} \ \ p_{2}x_2 + p_{3} x_3 \\ s.t. \ \ \left(\frac{x_2}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{x_3}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha} = z$$

al resolver este problema se obtiene la función de gasto

$$E_h(p_{2},p_{3},z) = (p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha}) z,$$

que te dice que para cada punto de utilidad $z$ el consumidor debe pagar $p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha}$ . Porque el gasto es proporcional a $z$ siendo la constante de proporcionalidad $p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha}$ puedes concebir $p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha}$ como el precio por punto de servicio $z$ . Por lo tanto, adopto la definición

$$p_z := p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha},$$

en cuyo caso la función de gasto se convierte en

$$E_h(p_{2},p_{3},z) = p_z z.$$

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Consideremos ahora finalmente el problema en la asignación

$$\max_{x_1,x_2,x_3} \ \ x_1 + x_2^\alpha x_3^{1-\alpha} \\ s.t. \ \ x_1 + p_2x_2 + p_3x_3 = I.$$

Se puede multiplicar y dividir el segundo sumando de la función de utilidad con $\alpha^\alpha$ y $(1-\alpha)^{1-\alpha}$ para conseguir

$$x_1 + \bar a \underbrace{\left[\left(\frac{x_2}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{x_3}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}\right]}_{:=z} = x_1 + \bar a z$$

donde $\bar a=\alpha^\alpha (1-\alpha)^{1-\alpha}$ .

Ahora puede ver que el agente se enfrenta a la elección de gastar dinero en $x_1$ obtener un punto de utilidad por moneda o gastar dinero en $x_2$ y $x_3$ obteniendo $\bar a$ puntos de utilidad por $p_z = p_2^\alpha p_3^{1-\alpha}$ monedas. Utilizando la lógica del caso de sustitutos perfectos se deduce que si

$$1>\bar a/p_z = \alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}/(p_2^\alpha p_3^{1-\alpha})$$

el consumidor sólo gasta dinero en $x_1$ y la demanda es $x_1(p_1,p_2,p_3,I) = I$ mientras que $x_2(p_1,p_2,p_3,I) = x_3(p_1,p_2,p_3,I) =0$ .

En el caso de que

$$1<\bar a/p_z = \alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}/(p_2^\alpha p_3^{1-\alpha})$$

el consumidor gasta todo el dinero en $z$ que es $x_2$ y $x_3$ y como siempre con las preferencias del CD $\alpha$ parte se gasta en $x_2$ y $(1-\alpha)$ compartir en $x_3$ por lo que la demanda es

$x_1(p_1,p_2,p_3,I) = 0$ mientras que $x_2(p_1,p_2,p_3,I) = \frac{\alpha I}{p_2}$ y $x_3(p_1,p_2,p_3,I) =\frac{(1-\alpha)I}{p_3}$ .

Por último, en el caso de que

$$1=\bar a/p_z = \alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}/(p_2^\alpha p_3^{1-\alpha})$$

no importa cómo el consumidor distribuye el gasto entre $x_1$ y $z$ pero cualquier cantidad gastada en $z$ se gasta en $x_2$ y $x_3$ y debe distribuirse entre $x_2$ y $x_3$ de forma óptima. Por lo tanto, la demanda de $x_1(p_1,p_2,p_3,I) \in [0,I]$ y $x_2(p_1,p_2,p_3,I) = \frac{\alpha(I-x_1)}{p_2}$ mientras que $x_3(p_1,p_2,p_3,I) = \frac{(1-\alpha)(I-x_1)}{p_3}$ .

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Tendrá problemas para utilizar los BDC porque no captan la solución fronteriza en la que el consumidor elige gastar todo el dinero en $x_1$ o en el bien combinado $z$ es decir $x_2$ y $x_3$ .