¿Cómo puedo demostrar la convexidad de esta función de riesgo?

Question

Tengo la siguiente función de riesgo:

$\mathbf{Risk}(x):=\mathbb{E}[R(x)]+\delta\mathbb{E}[|R(x)-\mathbb{E}[R(x)]|]$

donde $R(x)$ es la rentabilidad de la cartera y $\delta$ es cualquier escalar positivo. Mi libro de texto asume que esta función es convexa sin demostrarlo. ¿Alguna idea de cómo se puede demostrar que es convexa?

Answer 1

Desde $R(x)$ es lineal en $x$ Sólo tenemos que probar $\mathbb{E}(x) + \delta \mathbb{E}(\mathbb{|x-\mathbb{E}(x)|})$ es convexo. Ahora $\mathbb{E}(x)$ es lineal y $\delta$ es una constante positiva, por lo que sólo tenemos que demostrar $f(x):=\mathbb{E}(|x-\mathbb{E}(x)|)$ es convexo en $x$ . Entonces es sencillo demostrar por definición: para $0\leq t <1$ ,

$f(tx+(1-t)y) = \mathbb{E}(|tx + (1-t)y -\mathbb{E}(tx + (1-t)y)|) = \mathbb{E}(|t(x-\mathbb{E}(x)) + (1-t)(y-\mathbb{E}(y))|) \leq \mathbb{E}(|t(x-\mathbb{E}(x))| + |((1-t)(y-\mathbb{E}(y))|) = tf(x) + (1-t)f(y)$ ,

como se desea. La desigualdad utilizada es simplemente la desigualdad del triángulo.