Considere $$y_t =a_1 y_{t-1}+a_2 y_{t-2} +...+a_p y_{t-p} +\varepsilon_t $$
El polinomio característico sería: $$(1-a_1L -a_2L^2 -...-a_pL^p) $$
Supongamos que existe una root unitaria, digamos que $L=1$ es una root del polinomio característico. Supongamos que es una root de multiplicidad 1 y que todas las demás raíces son mayores que 1 en valor absoluto. Conozco el concepto de que $\Delta y_t$ es débilmente estacionario, pero no he visto una prueba de ello. Estoy buscando una prueba.
Es sencillo de ver una vez que se factoriza.
En su configuración sólo hay una root unitaria por lo que el polinomio característico puede ser factorizado como:
\begin{align} y_t &= a_1 y_{t-1}+a_2 y_{t-2} +...+a_p y_{t-p} +\varepsilon_t \\ (1-a_1L -a_2L^2 -...-a_pL^p)y_t &= \varepsilon_t \\ (1-L)\phi_1(L)y_t &= \varepsilon_t \\ \phi_1(L) \Delta y_t &= \varepsilon_t \end{align}
Aquí, $\phi_1(L)$ es un polinomio de grado $p-1$ y como has mencionado en tu montaje, tendrá todas las raíces fuera del círculo unitario, haciendo $\Delta y_t$ estacionario.
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