¿Es posible obtener una función de demanda en función de la renta y la utilidad a partir de esta utilidad indirecta logarítmica?

Question

Tengo esta función de utilidad indirecta:

$$v=-c\frac{p^{(-+1)}}{(-\beta+1)}+\frac{y^{(-\gamma+1)}}{(-\gamma+1)}$$

con la restricción Y = c + pq

He posteado antes sobre la obtención de la función de utilidad de la misma, pero no fui capaz de conseguirlo. Sólo lo necesitaba como paso previo para obtener funciones de precio y demanda similares a las de aquí: ¿Cómo se llega a esta función de demanda en el modelo de ciudad monocéntrica?

¿Tal vez sea posible obtener la demanda directamente como función de la renta y la utilidad (pero no como función de c) sin tener primero la función de utilidad directa?

Pensé en resolver para c en la función de demanda resultante:

$$q={cp^{-\beta}}{y^\gamma}$$

O

$$lnq= lnc-\beta lnp+ \gamma lny$$

Para conseguir

$$c=\frac{{p^{-\beta}}{y^\gamma}}{q}$$

Y luego sustituir eso en v y resolver para q y p, pero eso no parece correcto.

Cualquier ayuda con

• cómo resolver c a partir de los dos primeros
• cómo obtener la función de demanda de q en función de la renta y la utilidad (sin c)
• cómo obtener la función de utilidad directa

Se agradecería mucho.

Answer 1

En primer lugar, no entiendo muy bien cómo

$$v=-c\frac{p^{(-+1)}}{(-\beta+1)}+\frac{y^{(-\gamma+1)}}{(-\gamma+1)},$$

puede ser una función de utilidad indirecta ya que es una función de $c$ y la función de utilidad indirecta, por definición, es una función de la renta y de los precios.

Sin embargo, si realmente es el caso que

$$y = c + pq$$

y

$$q=cp^{-\beta}y^\gamma$$

entonces se deduce que

$$y = c + pcp^{-\beta}y^\gamma,$$

por lo que

$$y/(1+p^{1-\beta}y^\gamma) = c$$

e insertando esto en $v$ se obtiene

$$v=-y/(1+p^{1-\beta}y^\gamma)\frac{p^{(-+1)}}{(-\beta+1)}+\frac{y^{(-\gamma+1)}}{(-\gamma+1)},$$

que es una función de los precios y la renta y podría ser la función de utilidad indirecta. A partir de aquí se puede encontrar la demanda de Marshall utilizando la identidad de Roy

$$q(p,y) = - \frac{\frac{\partial v}{\partial p}}{\frac{\partial v}{\partial y}},$$

cuando se tiene $q(p,y)$ entonces se deduce de la restricción presupuestaria que $$c(p,y) = y - p q(p,y).$$

Pero no me queda claro si esto es lo que quieres.