Intuición de utilidad de Epstein-Zin

Question

Trabajo mucho con la utilidad de Epstein-Zin (estándar en los modelos de valoración de activos). Pero tengo algunos problemas para entender cómo funciona esta función de utilidad.

Pensemos en un problema estándar de maximización de la utilidad de un consumidor que vive dos períodos. El agente está dotado de una riqueza de $w_1$ en el periodo 1, y recibe un ingreso de $y_2$ en el período. Su ahorro para el periodo 2 viene dado por $w_2$ . El tipo sin riesgo es $r_f$ .

$$max_{c_t} u(c_t)$$

con sujeción a: $w_2 = (w_1 - c_1)(1+r_f) + y_1$ .

Supongamos ahora dos funciones de utilidad:

1. la función de valor con utilidad CRRA: $$ V_t = \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} + \beta E_t[V_{t+1}]$$

2. Utilidad de Epstein-zin: $$ V_t = \bigg \{(1-\beta) C_t^{1-1/\psi}+\beta E_t[V_{t+1}^{1-\gamma}]^{\frac{1-1/\psi}{1-\gamma}} \bigg \}^{\frac{1}{1-1/\psi}} $$

Ahora aquí está mi confusión. Digamos que empiezo a resolver este modelo por inducción hacia atrás como es habitual en la literatura. En el último período de la vida ( $t=2$ ) los agentes se limitan a consumir toda la riqueza disponible ( $w^2$ ).

1. La función de utilidad en el caso de la CRRA tiene la forma (en el último período): $$V_2 = \frac{w_2^{1-\gamma}}{1-\gamma}$$

2. La función de utilidad en el caso EZ tiene la forma (en el último período): $$V_2 = (1-\beta)^{\frac{1}{1-1/\psi}} w_2$$

Así que, en cierto sentido, en el primer caso la función de utilidad es cóncava en la riqueza, mientras que en el segundo caso es lineal en la riqueza. Así que tienen formas dramáticamente diferentes. Esto es aún más desconcertante si se tiene en cuenta que si fijamos $\psi$ (la elasticidad de sustitución intertemporal) sea $\frac{1}{\gamma}$ La utilidad de EZ debería colapsar el caso CRRA.

¿Qué me falta?

Answer 1

Mientras que la concavidad de una función de felicidad $u$ afecta a las elecciones una función de valor no es única hasta las transformaciones monótonas. Es un concepto ordinal y no cardinal. Considere su ecuación CRRA

$$V_t=\frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\beta\mathbb{E}_t[V_{t+1}]$$

$$\Leftrightarrow V_t^{\frac{1}{1-\gamma}}=\left(\frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\beta\mathbb{E}_t[V_{t+1}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}$$

Configurar $\tilde{V}_t=V_t^{\frac{1}{1-\gamma}}$

$$\tilde{V}_t=\left(\frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\beta\mathbb{E}_t[\tilde{V}_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}$$

Ahora $\tilde{V}_2$ también es lineal, pero la ecuación define la misma clasificación hacia diferentes políticas que la ecuación original.

Como ha mencionado, EZ corresponde a CRRA en el caso especial $\gamma=\frac{1}{\psi}$ . Enchufar

$$ V_t = \bigg \{(1-\beta) C_t^{1-\gamma}+\beta E_t[V_{t+1}^{1-\gamma}] \bigg \}^{\frac{1}{1-\gamma}} $$

Ahora, a primera vista, esto puede parecer que las preferencias son diferentes a las de la especificación estándar de la CRRA. Pero reescribamos el problema:

$$ V_t^{1-\gamma} = \bigg \{(1-\beta) C_t^{1-\gamma}+\beta E_t[V_{t+1}^{1-\gamma}] \bigg \}$$

o

$$ V_t^{1-\gamma}(1-\beta)^{-1}(1-\gamma)^{-1} = \bigg \{ \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\beta E_t[V_{t+1}^{1-\gamma}(1-\beta)^{-1}(1-\gamma)^{-1}] \bigg \}$$

Definir $\hat{V}_t= V_t^{1-\gamma}(1-\beta)^{-1}(1-\gamma)^{-1}$ . Usted obtiene

$$ \hat{V}_t = \bigg \{ \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\beta E_t[\hat{V}_{t+1}] \bigg \}$$

Que tiene exactamente la misma forma matemática que tu problema de CRRA. A partir de esto deberías darte cuenta de que se trata de tu problema CRRA original pero escrito de una forma ligeramente diferente.