Digamos que tenemos la varianza de la rentabilidad diaria en $t_0$ : $$\sigma_{r_{t_0}}^2=\text{Var}[r_{t_0}]=\text{Var}[\frac{S_{t_0}-S_{t_0-1}}{S_{t_0-1}}]$$ para el proceso de precios $S_t$ . ¿Existe una forma de derivar la fórmula de la varianza del precio en el momento $t_0$ ( $\text{Var}[S_{t_0}]$ )? He intentado pensar en $S_{t_0-1}$ como un valor conocido, entonces: $$\sigma_{r_{t_0}}^2=\text{Var}[r_{t_0}]=\text{Var}[\frac{S_{t_0}}{S_{t_0-1}}-1]=\text{Var}[\frac{S_{t_0}}{S_{t_0-1}}]=\frac{1}{S^2_{t_0-1}}\text{Var}[S_{t_0}].$$ Pero no estoy seguro de que sea correcto.
Contexto más amplio : Quiero utilizar las desviaciones estándar pronosticadas por GARCH(1,1) en la banda de Bollinger en lugar de las móviles (sd-s del último $n$ días). Pero el modelo GARCH me da varianzas/sd-s para los retornos y en la banda de Bollinger necesitaría unas para los precios.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, no se puede hacer ingeniería inversa de la varianza de los precios a partir de la varianza de los rendimientos porque la varianza de los rendimientos debe ser infinita para cualquier distribución candidata creíble para los precios. Esto no implica que no se pueda obtener información sobre la varianza de los precios, pero no de la varianza de los rendimientos.
En primer lugar, debemos distinguir mentalmente la idea de la varianza de la muestra de la varianza de la población. También debemos recordar que la fórmula que la mayoría utiliza para la varianza, en una u otra versión, es un algoritmo optimizado en condiciones específicas.
En primer lugar, debemos llegar a una distribución de los rendimientos, de modo que $r_t=r_t(S_t,S_{t+1})$ . Dado que los rendimientos son una función de los precios y los precios son los datos reales, eso significa que los rendimientos son una estadística. Son una función de los datos. Por lo tanto, es posible derivar la distribución de $r$ .
Ignoraremos los dividendos, la quiebra, las fusiones y los costes de liquidez. En el mundo real no se podría, pero este post será demasiado largo si no lo hacemos.
Te mostraré por qué no puedes recuperarlo.
Para evitar tener que escribir la notación con subíndices en el resto del post, voy a definir la más genérica $$Z=\frac{Y}{X}$$ en lugar de $$r_t=\frac{S_{t+1}}{S_t}.$$
Por lo tanto, supongamos la relación $$Z=\frac{Y}{X}$$ retenciones. Queremos que la varianza de $Y$ y $X$ de la información en $Z$ . No podremos hacerlo, pero habrá información que podamos recuperar.
La solución general para resolver una distribución de proporción es observar que la función de distribución de $Z$ es $$D(z)=P(Z\le{z}).$$ Eso se convierte en $$D(z)=P(Y\le{zX}|X>0)+P(Y\ge{zX}|X<0)$$
Si asumimos que $f(x,y)$ es la función de densidad conjunta de las variables, entonces $$D(z)=\int_0^\infty\int_0^{zx}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^0\int_{zx}^0f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x.$$
Saltando un poco hacia adelante, es bien conocido en el campo de la probabilidad que si $f$ es cualquier distribución elíptica como la normal, la de Student o la de Cauchy, entonces la relación será la distribución de Cauchy si $(\mu_x,\mu_y)=(0,0)$ . Si no lo es, entonces será la combinación convexa de una distribución Cauchy y una distribución de varianza finita.
En mi trabajo, he demostrado que hay un truco que se puede hacer para que funcione a una distribución de Cauchy si la media se encuentra en el equilibrio. El truco viene de convertir todo a coordenadas polares. $\Re^2$ no es un conjunto ordenado, por lo que se puede hallar la distribución de los errores en lugar de los rendimientos, pero como el rendimiento de equilibrio es una constante, basta con sumarlo. Sin embargo, hay otras transformaciones necesarias en la discusión.
Observando que $$\tan(\theta)=\frac{Y}{X}$$ se deduce que $$\theta=\tan^{-1}(\frac{Y}{X}).$$ La razón por la que uno puede preocuparse por eso es que la función de distribución de la distribución de Cauchy es la arctangente. Uno de los límites de la integral se convierte en la arctangente del cociente, lo que significa que como $\int_a^bf(t)\mathrm{d}t=F(B)-F(A)$ y ahora la función de distribución es $B$ En este caso, toda distribución de relación de dos precios de acciones debe contener la distribución de Cauchy, que tiene una varianza infinita.
Ahora bien, el truco desagradable que hice fue suponer que los precios estaban aproximadamente en equilibrio, es decir, que el equilibrio a corto plazo es igual al equilibrio a largo plazo. Por la ley de la probabilidad total, esa suposición no puede mantenerse sin añadir el efecto de los casos en los que la distribución a corto plazo no es igual a la distribución a largo plazo.
No obstante, hemos asumido la existencia del mundo real eliminando las quiebras, las fusiones, etc. La solución real debe contener los componentes de varianza finita. Sin embargo, eso haría esto prohibitivamente largo y tu objetivo era simple, ¿puedes hacer ingeniería inversa de la varianza del precio a partir de la varianza del retorno?
No se puede porque la distribución de Cauchy, y hemos eliminado el supuesto de responsabilidad limitada por lo que no hay límite izquierdo, tiene una función de densidad de $$g(r|\mu;\gamma)=\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{\gamma^2+(r-\mu)^2},\gamma=\frac{\sigma_{S_{t+1}}}{\sigma_{S_t}}$$ en el caso univariado.
El parámetro de la escala, $\gamma$ de la distribución Cauchy es el cociente de las desviaciones típicas poblacionales de los precios. La razón por la que no se pueden invertir las desviaciones estándar tiene que ver con la naturaleza de los cocientes. Es más sencillo de ver en coordenadas polares, pero fácil de explicar.
Si $r=2$ entonces ambos $$\frac{100}{50}$$ y $$\frac{200}{100}$$ producen el mismo resultado pero, presumiblemente, si ambos son equilibrios, entonces tienen varianzas diferentes a distintos niveles de precios. La desviación estándar de la primera relación podría ser diez y la de la segunda veinte. El parámetro de escala, $\gamma$ describe la naturaleza de la heteroscedasticidad de los precios.
Eso también supone dos cosas más. En primer lugar, supone que estamos más o menos en equilibrio. En segundo lugar, supone que los precios son estacionarios a lo largo del intervalo de tiempo. Si hay una ruptura estructural en el intervalo, tendríamos una discusión muy diferente. Del mismo modo, si empezamos con un valor muy infravalorado o sobrevalorado, esa relación no se mantendría. Es una construcción diferente, más complicada.
Ahora, no tenemos que asumir una distribución normal. Es posible derivar la distribución de los precios para diferentes clases de activos. Por ejemplo, dado que los Maestros Antiguos que se venden en Sotheby's son en una subasta de estilo inglés, se obtendría la maldición del ganador. La distribución de las ofertas ganadoras sería la distribución de Gumbel. Si se compra y se vende un Rembrandt en Sotheby's, entonces $f$ sería la distribución conjunta de Gumbel. En el caso de los valores de renta variable, dado que las acciones se venden en una subasta doble, la distribución conjunta de los precios sería normal en equilibrio, si se escalan los precios en torno al precio de equilibrio y se normalizan dividiéndolos por sus desviaciones estándar.
Los precios pueden tener una desviación estándar, pero sólo bajo algunos supuestos bastante extraños los rendimientos tendrían una varianza finita.
Una última nota técnica: si no se utilizaran los rendimientos, sino que la variable dependiente fuera algo así como la probabilidad de quiebra, entonces la distribución tendría una varianza finita porque estaría limitada en el intervalo de cero a uno. Tomar una razón, por sí misma, no es suficiente para determinar la distribución de un modelo porque se puede transformar cualquier distribución en cualquier otra con la transformación adecuada. Podrías mapear la función cuantil de la distribución Cauchy en la función cuantil de la distribución Normal, y viceversa. Lo único que importaría es que realmente entendieras que estabas haciendo una transformación de los datos.
Sin embargo, si $S$ es el precio de una acción, no se puede recuperar la varianza a partir de la varianza muestral de $R$ porque $R$ tiene una varianza poblacional infinita. ¿Cómo se puede estimar el infinito a partir de una muestra finita?
