Fijación de precios de las opciones binarias bajo la sonrisa de la volatilidad

Question

Me pidieron que demostrara que el precio de una opción digital/binaria $D$ mientras una sonrisa de volatilidad $\sigma(K)$ está presente viene dado por

$$D= \exp(-rT)( \Phi(d_2) - K \sqrt{T} \phi(d_2) \sigma ' (K))$$

Donde $\Phi$ es la FCD normal estándar y $\phi$ es el pdf normalizado. Empecé mostrando que el precio de $D$ bajo B-S viene dado por $-\frac{\partial C}{\partial K}$ , donde $C$ es el precio estándar B-S para una opción de compra. Además, también he demostrado que esto también se puede expresar como (sin vol smile) $$-\frac{\partial C}{\partial K} = \Phi(d_2)$$

Finalmente, pude mostrar lo siguiente $$D = -\frac{\partial C}{\partial K} - \frac{\partial C}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial K}$$

Ahora, el $\frac{\partial C}{\partial \sigma}$ es Vega, que viene dada explícitamente por $$\frac{\partial C}{\partial \sigma} = S\phi(d_1)\sqrt{T}$$

Y ahora no tengo ni idea de qué hacer, porque la pregunta implica un $K\phi(d_2)$ término, pero tengo un $S\phi(d1)$ término. ¿Están relacionados de alguna manera?

Answer 1

Tenga en cuenta que $d_1 = d_2 +\sigma \sqrt{T}$ y

$$\tag{1}S\sqrt{T}\phi(d_1) = \frac{S\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}e^{-(d_2 + \sigma \sqrt{T})^2/2} = \frac{S\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}e^{-d_2^2/2}e^{-d_2\sigma\sqrt{T}}e^{-\sigma^2T/2}\\ = S\sqrt{T}\phi(d_2)e^{-d_2\sigma\sqrt{T}}e^{-\sigma^2T/2}$$

Desde

$$d_2 = \frac{\log \frac{S}{K}+rT -\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma \sqrt{T}},$$

tenemos

$$\tag{2}e^{-d_2\sigma\sqrt{T}}= \frac{K}{S}e^{-rT}e^{\sigma^2T/2}$$

Sustituyendo en (1) con (2) obtenemos

$$S\sqrt{T}\phi(d_1) = e^{-rT}K\sqrt{T} \phi(d_2)$$

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Obsérvese también que para el precio Black-Scholes $C = S \Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2)$ tenemos $$\tag{3}\frac{\partial C}{\partial K}= - e^{-rT}\Phi(d_2)$$

La derivación es

$$\tag{4}\frac{\partial C}{\partial K}= S\Phi'(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial K} - e^{-rT}\Phi(d_2) - Ke^{-rT}\Phi'(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial K}\\ = -e^{-rT}\Phi(d_2) + S\phi(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial K} - Ke^{-rT}\phi(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial K}$$

Desde $\frac{\partial d_1}{\partial K} = \frac{\partial d_2}{\partial K}$ y utilizando el resultado anterior $S\phi(d_1) = e^{-rT}K \phi(d_2)$ El segundo y tercer término del lado derecho de (4) se anulan y obtenemos el resultado deseado (3).