Equilibrio de Arrow Debreu o equilibrio de Radner y precios al contado

Question

Supongamos que hay 2 estados, 2 bienes y 2 consumidores y que los consumidores tienen idéntica función de utilidad esperada: $U^i (x)= \sum_{s=1,2} \pi_s (\ln x_{1s}+\ln x_{2s} )$ donde $\pi=(1/3,2/3)$ .
Las dotaciones son $e_s=(e_1, e_2) = (12,12)$ .
El consumidor 1 tiene todo en el estado 1 y el consumidor 2 tiene todo en el estado 2.

Existe un equilibrio de Radner que es $x^1_s=(4,4)$ y $x^2_s=(8,8)$ .
Cuál es el precio al contado $(p_{1s}, p_{2s})$ ? Se puede normalizar $p_{1s}=1$ .

Hice el lagrangiano y obtuve $p_{2s}=1$ de la condición de precio relativo de MRS.
¿Pero mi respuesta es correcta?
No puedo entender por qué dos bienes tienen el mismo precio cuando la probabilidad de estado es diferente.
¿Ese precio al contado es el mismo con ADE?

Answer 1

Me parece que la notación es un poco inusual; podría ser mejor escribir el vector $$ x^i = (x_{11}^i, x_{21}^i,x_{12}^i, x_{22}^i), $$ donde el primer índice inferior denota el bien y el segundo el estado, en lugar de basarse en el hecho de que en este problema particular el consumo de equilibrio de cada agente es independiente del estado. Lo mismo ocurre con el vector de precios de equilibrio $(p_{11}, p_{21},p_{12}, p_{22})$ .

Los ratios de precios $p_{1s} / p_{2s}$ denotan el tipo de cambio de dos bienes en un estado determinado, la relación de precios $p_{11} / p_{12}$ muestra ex-ante cuántas unidades de riqueza del estado 2 valen una unidad de riqueza del estado 1.

Dado el equilibrio anterior, esta función de utilidad particular implica $$ 1 = \frac{4}{4} = |MRS^1_{x_{11}x_{21}}(4,4)| = \frac{p_{11} }{ p_{21}}. $$ Obsérvese que si las funciones de utilidad fueran $$U^i (x)= \sum_{s=1,2} \pi_s (\color{red}{2} \cdot \ln x_{1s}+\ln x_{2s} )$$ la misma asignación seguiría siendo una asignación de equilibrio, pero la relación de precios anterior cambiaría a $2$ Así que conseguir $1$ en este problema es simplemente un accidente.

También se puede obtener la relación de precios $$ \frac{p_{11} }{ p_{12}} = |MRS^1_{x_{11}x_{\color{red}{12}}}(4,4)|. $$