Integración en el modelo de asignación/concordancia

Question

Digamos que un modelo de coincidencia en el que la habilidad del trabajador $g$ coincide con el tamaño de la máquina $k$ . Supongamos que la función de producción tiene la forma CD $g^{\alpha} k^{\beta}$ y los trabajadores y el tamaño de las máquinas están distribuidos lognormalmente con varianzas de logaritmos $\sigma_{g}^{2}$ y $\sigma_{k}^{2}$ . Como la función de producción es complementaria, la asignación será un emparejamiento asortativo positivo $k(g)$ .

De FOC tenemos $w^{\prime}\left(g_{0}\right)=\left[\frac{\partial f\left(g_{0}, k^{*}\right)}{\partial g_{0}}\right]_{k^{*}=k\left(g_{0}\right)} = \alpha g^{\alpha-1}k(g)^\beta$ .

Integrando esta FOC podemos obtener la función salarial $w(g)=A g^{\left(\alpha \sigma_{g}+\beta \sigma_{k}\right) / \sigma_{g}}+C_{w}$ , donde $A$ es una constante y $C_{w}$ es la constante de la integración. Me pregunto cómo hacer esta integración.

Answer 1

La respuesta es muy sencilla.

Porque la definición de emparejamiento asortativo positivo con variable continua es que $1-G(g)=1-K(k(g)) \forall g$ , donde $G$ y $K$ son las fdc de $g$ y $\mathrm{k}$ .

Entonces, a partir de la definición de la fdc de la distribución lognormal podemos resolver esta función de correspondencia analíticamente $k(g)=g^{\frac{\sigma_{k}}{\sigma g}}$ . Y la integración es entonces trivial.