Derivación de autocovarianzas Lewis (2021) RES

Question

Estoy estudiando este documento Y no entiendo la derivación de las covarianzas al final de la página 3090.

Básicamente tengo dos choques: $\varepsilon_{1t}$ tiene una volatilidad constante $E[\varepsilon_{1t}^2]$ = $\sigma^2_1$ mientras que $\varepsilon_{2t}$ tiene una volatilidad variable en el tiempo $E[\varepsilon_{2t}^2]$ = $\sigma^2_{2,t}$ . Además, asumo que:

$E[\varepsilon_{it}|\varepsilon_{jt}]=0$ para $j \neq i$ y cada t

$E[\varepsilon_{it}|\varepsilon_{ks}]=0$ para cada $k$ y $s \neq t$

Me cuesta derivar estas cantidades:

$cov(\varepsilon_{1t}^2, \varepsilon_{1t-p}^2)$

$cov(\varepsilon_{1t}^2, \varepsilon_{1t-p} \varepsilon_{2t-p})$

$cov(\varepsilon_{1t}^2,\varepsilon_{2t-p}^2)$

$cov(\varepsilon_{2t}^2,\varepsilon_{1t-p}^2)$

$cov(\varepsilon_{1t}\varepsilon_{2t},\varepsilon_{1t-p}^2)$

$cov(\varepsilon_{1t}\varepsilon_{2t}, \varepsilon_{1t-p}\varepsilon_{2t-p} )$

Del documento parece que todas estas cantidades son iguales a 0, para obtener las dos ecuaciones del fondo. No entiendo por qué. Para la primera cantidad tengo $cov(\varepsilon_{1t}^2, \varepsilon_{1t-p}^2)= E[\varepsilon_{1t}^2\varepsilon_{1t-p}^2] - (\sigma^2_1)^2$ pero no me queda claro cómo demostrar que $E[\varepsilon_{1t}^2\varepsilon_{1t-p}^2] = (\sigma^2_1)^2 $ para obtener 0.

Del mismo modo, para las otras cantidades, por qué $E[\varepsilon_{1t}^2\varepsilon_{1t-p} \varepsilon_{2t-p}]$ sería igual a 0?

Answer 1

Una implicación útil de la independencia media condicional es: $E[\varepsilon_{it}|\varepsilon_{ks}]=0 \implies E[\varepsilon_{it}\varepsilon_{ks}]=0,$ y más en general, $E[\varepsilon_{it}|\varepsilon_{ks}]=0 \implies E[\varepsilon_{it}m(\varepsilon_{ks})]=0,$ para cualquier función $m$ .

Esto puede aplicarse a su caso: si $$E[\varepsilon_{1t}^2] =E[\varepsilon_{1t}^2|\varepsilon_{1s}] = \sigma_1^2,$$ entonces (para $m$ definido como el cuadrado): $$ E[(\varepsilon_{1t}^2-\sigma_1^2)\varepsilon_{1s}^2] = 0 \Leftrightarrow E[\varepsilon_{1t}^2\varepsilon_{1s}^2] = \sigma_1^2\sigma_1^2,$$

y así, $cov(\varepsilon_{1t}^2,\varepsilon_{1s}^2)=0.$

En este trabajo se incluyen otros resultados interesantes para la covarianza del cuadrado y el producto de variables aleatorias:
Bohrnstedt, G. W. y A. S. Goldberger, 1969, Sobre la covarianza exacta de productos de variables aleatorias, Revista de la Asociación Americana de Estadística , 64, 1439-1442.

Espero que esto ayude...