En la mayoría de los modelos, la competencia perfecta implica que MC = P, ¿no debería ser en cambio el coste medio el que fuera igual al precio?
No, puedes comprobarlo tú mismo matemáticamente. En competencia perfecta las empresas toman el precio $p$ como fijo por lo que la función de beneficio viene dada por:
$$\Pi = pq -c(q)$$
Donde $q$ es la cantidad producida y $c$ es la función de costes. Porque la empresa es una tomador de precios en competencia perfecta no puede controlar el precio, sólo la cantidad, por lo que la variable de elección de la empresa es $q$ .
Ahora bien, si la empresa maximiza el beneficio tomamos la derivada de la función de beneficio wrt $q$ para encontrar la condición de primer orden para la maximización del beneficio que es:
$$p-c'(q)=0 \implies p=c'(q)$$
$c'(q)$ es inequívocamente el coste marginal y no el coste medio (que sería $c(q)/q$ ). Por tanto, se trata efectivamente de un coste marginal y no de un coste medio.
Si el Coste Medio es mayor que el Coste Marginal, las empresas están perdiendo dinero cuando venden a su precio P = MC.
Es posible que una empresa perfectamente competitiva tenga pérdidas económicas a corto plazo aunque maximice el beneficio.
No hay mucho que la empresa pueda hacer aquí. La empresa perfectamente competitiva no puede cobrar un precio más alto que el precio de mercado dado exógenamente (desde el punto de vista de la empresa) sin perder todos los clientes. Así que $p$ es fijo, $q$ ya está ajustado de forma óptima para que el beneficio sea máximo (el valor máximo del beneficio aún puede ser un número negativo). La única otra opción es cerrar la producción por completo, pero se supone que eso sólo puede ocurrir a largo plazo, ya que en microeconomía el corto plazo se define como un período de tiempo en el que la empresa no tiene tiempo suficiente para entrar/salir del mercado.