¿Cómo se redefine esta correspondencia informativa?

Question

Dejemos que $\mathcal{R}_i$ sea un conjunto finito no vacío y defina la correspondencia de información $R_i:S2^{\mathcal{R}_i}-\{\emptyset\}$ para ser un mapeo desde el espacio de tipos del jugador i a la colección de subconjuntos de $\mathcal{R}_i$ . Un elemento $s\in\mathcal{R}_i$ se denomina mensaje dependiente del tipo y $R_i(s_i)$ es el conjunto de mensajes dependientes del tipo disponibles para el tipo $s_i$ del jugador $i$ . Los mensajes dependientes del tipo certifican la declaración de un jugador sobre su tipo. Por ejemplo, si $L\subset S_i$ es el conjunto de tipos de jugadores $i$ que puede enviar el mensaje $s\in\mathcal{R}_i$ entonces $s$ certifica una declaración del tipo "mi tipo está en $L$ ". El conjunto $L$ se denomina, por tanto, evento certificable.

Quiero definir la correspondencia de los informes $R_i$ de manera diferente. Supongamos que el juego se repite y al final de cada etapa $t$ del juego y antes de que comience uno nuevo, cada jugador observa la historia del juego que se ha alcanzado hasta ese momento. Denotamos la historia del juego como $h$ . Es la secuencia del perfil pasado de las estrategias jugadas por los jugadores, a saber $h=(a_k)_{k=1}^T$ , donde $a_k$ es el perfil de las estrategias jugadas en la etapa $k$ . Al final de cada etapa $t$ del juego y antes de que comience uno nuevo, cada jugador también recibe una actualización de su tipo $s_i$ con respecto al tipo de los otros jugadores $s_{-i}$ denotado como $s_i^t$ . Así que, dada la historia $h^{t-1}$ y el tipo actualizado $s_i^t$ cómo es la correspondencia $R_i$ ¿refinado?

Pido algo sencillo. La correspondencia informativa se define como $R_i:S2^{\mathcal{R}_i}-\{\emptyset\}$ . Cuando el juego toma la dimensión dinámica debido a las etapas, entonces $R_i^t:\underbrace{...}_{?}\to\underbrace{...}_{?}$

Answer 1

Sin que esto sea una respuesta clara, se podría pensar en definir la correspondencia de los informes de la siguiente manera $$R_i^t(s_i^t|h^{t-1})=\{s_i^t\in S_i^t\quad \text{where player $ i $ reports truthfully her type that is $ s_i $ at stage $ t $}\}$$

De este modo, el espacio de mensajes se asemeja a una especie de espacio de informes en el que cada jugador confirma su índice $i$ y su tiempo privado $s_i$ . Sin embargo la actualización que dices es una especie de profecía de fellfield y déjame ser claro en esto. Cuando un juego se vuelve dinámico entonces a cualquier nueva jugada se incorporan las anteriores en el $\sigma-$ álgebra de cada jugador que codifica su información. Así que $h^t$ contiene alguna información, pero no toda. Es posible que necesite algo más para el conjunto de información más allá de la secuencia $h=(a_k)_{k=1}^t$ o $h^t=a^t$ que se refiere al perfil de las acciones hasta la etapa $t$ . Puedes suponer que cada jugador puede observar las acciones de todos los demás al final de cada etapa de juego por lo que sí conoce todo el perfil de acciones lo cual es cierto con la forma en que definiste la historia, pero necesitarás una historia extendida digamos $f_i^t=\{(h^t,s_i^t)\quad|\quad h^t\in H^t, s_i^t\in S_i^t\}$ . Así que cada jugador hasta la etapa $t$ sabrá $f_i^{t-1}=(h^{t-1},s_i^{t-1})$ pero no tendrá información adicional sobre $s_{-i}^{t-1}$ y por supuesto $s_{-i}^{t}$ . Por lo tanto, la correspondencia informativa podría escribirse de la siguiente manera

$$R_i^t(s_i^t|f_i^{t-1})=\{s_i^t\in S_i^t\quad \text{where player $ i $ reports truthfully her type that is $ s_i $ at stage $ t $}\}\tag{1}$$ , a saber

$$R_i^t:F_i^t\to I\times S_i^t$$ tal que $R_i^t(s_i^t|f_i^t)=(i,s_i^t)$ donde la jugadora repone su índice $i$ y su señal $s_i$ en la etapa $t$ ( $f_i^t\in F_i^t$ ).