¿Cómo debo entender la siguiente afirmación sobre el tipo ajustado a la convexidad

Question

Dado, un numéraire $(N(t))_{0\leq t \leq T}$ y un índice $(X(t))_{0\leq t\leq T}$ que es un $\mathbb Q^{N}$ -martingale, consideramos el pago natural $V_{N}(T)$ donde se paga

$$V_{N}(T):=X(T)N(T) \; \; \text{in }T,$$

es decir, paga el índice $X(T)$ en unidades de $N(T)$ .

Ahora consideremos el pago $V_{M}(T)$ , donde

$$ V_{M}(T):=X(T)M(T)\; \; \text{in }T.$$

Pregunta : Se afirma que el valor de $V_{M}(T)$ es igual al valor del instrumento que paga un "nuevo" índice $\frac{\tilde{X}(0)}{X(0)}X(T)$ en unidades de $N(T)$ , donde $$\tilde{X}(0):=X(0)+\frac{N(0)}{M(0)}\mathbb E^{\mathbb Q^{N}}\left[\int_{0}^{T}d\frac{V_{N}(t)}{N(t)}\cdot d\frac{M(t)}{N(t)}\right]$$

Comentario:

Sé cómo llegar a $\tilde{X}(0)$ al definir $\tilde{X}(0)$ tal que $$N(0)\cdot \mathbb E ^{\mathbb Q^{N}}\left[\frac{V_{M}(T)}{N(T)}\right]=V_{M}(0)=:\tilde{X}(0)\cdot M(0)$$

Es que realmente no entiendo la afirmación sobre los valores de $V_{M}(T)$ y $\frac{\tilde{X}(0)}{X(0)}X(T)\cdot N(T)$ siendo iguales.

En mi intento, el valor del "nuevo" índice es:

$N(0)\mathbb E^{\mathbb Q^{N}}\left[\frac{\frac{\tilde{X}(0)}{X(0)}X(T)\cdot N(T)}{N(T)}\right]=\tilde{X}(0)N(0)$ que, por supuesto, no es necesariamente igual a $\tilde{X}(0)\cdot M(0)$

Creo que se me escapa algo fundamental, ¿alguna idea? ¿O se trata simplemente de un error tipográfico?

Answer 1

Una forma de atacar este problema es, obviamente, invocando el teorema de Girsanov. Intentemos llegar a la misma conclusión sin él.

El primer reclamo contingente entrega un pago $V^N(T) = X(T) N(T)$ . Asumiendo que $(X(t))_{0 < t \leq T}$ es un $\Bbb{N}$ -martingale, bajo la medida asociada al numéraire $N(t)$ entonces obtenemos: $$ V^N(0) = N(0) \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ X(T) \right] = N(0) X(0) $$

El segundo reclamo contingente entrega un pago $V^M(T) = X(T) M(T)$ . Bajo la medida asociada al numéraire $M(t)$ nos encontramos con que: $$ V^M(0) = M(0) \Bbb{E}_0^\Bbb{M} \left[ X(T) \right] = M(0) \tilde{X}(0) \ne M(0) X(0) $$ desde $(X(t))_{0 < t \leq T}$ no es un $\Bbb{M}$ -martingale a priori pero definimos $$ \tilde{X}_0 := \Bbb{E}_0^\Bbb{M} \left[ X(T) \right] $$

Se puede escribir entonces \begin{align} \tilde{X}_0 &= \Bbb{E}_0^\Bbb{M} \left[ X(T) \right] \\ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ X(T) \frac{M(T)}{N(T)} \frac{N(0)}{M(0)} \right] \\ &= \frac{N(0)}{M(0)} \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \frac{V^N(T)}{N(T)} \frac{M(T)}{N(T)} \right] \\ &= \frac{N(0)}{M(0)} \left( \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \frac{V^N(T)}{N(T)} \right] \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \frac{M(T)}{N(T)} \right] + \text{cov}\left( \frac{V^N(T)}{N(T)} , \frac{M(T)}{N(T)} \right)\right) \\ &=\frac{N(0)}{M(0)} \left( X(0) \frac{M(0)}{N(0)} + \int_0^T \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ d\left\langle \frac{V^N}{N}, \frac{M}{N} \right\rangle_t \right] \right) \\ &= X(0) + \frac{N(0)}{M(0)} \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \int_0^T d\left\langle \frac{V^N}{N}, \frac{M}{N} \right\rangle_t \right] \end{align} de ahí el correspondiente ajuste de convexidad. En lo anterior, hemos utilizado respectivamente las siguientes identidades para pasar de una línea a otra

• definición de (cambio de) numéraire
• definición de $V^N$
• definición de covarianza (terminal) entre 2 variables aleatorias
• Propiedad Martingale de $V^N(t)/N(t)$ y $M(t)/N(t)$ en $\Bbb{N}$ (ambos $V^N(t)$ y $M(t)$ representan el $t$ -de una estrategia comercial autofinanciada dentro de nuestra economía modelo, por lo que sus precios son martingalas cuando se expresan en $N_t$ unidades) junto con la isomería de Itô para vincular la covarianza terminal a la covarianza cuadrática
• Linealidad del operador de expectativas.