La derivada total se evalúa a cero: problema al hacer estática comparativa

Question

Estoy jugando con una versión del modelo de juguete para mi investigación y tengo una ecuación implícita que define el equilibrio: $$\phi = \frac {S}{NF(\phi(u-\eta)+\eta - c)}$$

donde $S,N,u,\eta,c$ son parámetros y $F(.)$ es la función cdf. Tengo una función objetivo de minimización de costes definida como $Min C_1S$ , donde $C_1$ es un coeficiente de coste constante independiente.

Necesito realizar un análisis estático comparativo de la función objetivo con diferentes parámetros, así que he sustituido el valor de $S$ a partir de la ecuación implícita anterior y luego se procedió a calcular la derivada total de la función objetivo wrt los diferentes parámetros. Mis expresiones se evalúan a cero, por lo que claramente estoy haciendo algo mal y no puedo entender qué.

Este es mi intento: Digamos que la función objetivo es OF. Entonces necesito $\frac{dOF}{dN}$ . Según la fórmula de la derivada total, deberíamos tener: $\frac{dOF}{dN}=\frac{\partial OF}{\partial \phi}\frac{d\phi}{dN}+\frac{\partial OF}{\partial N}$ . Ahora no estaba seguro de $\frac{d\phi}{dN}$ Así que intenté dos enfoques.

En primer lugar, intenté $\frac{\partial\phi}{\partial N}$ porque $\phi$ se ve afectado por todos estos parámetros $N, S,$ etc. He utilizado el teorema de la función implícita para llegar a $\frac{-\phi F(\phi(u-\eta)+\eta -c)}{NF(\phi(u-\eta)+\eta -c) + \phi N(u-\eta)f(\phi(u-\eta)+\eta -c)}$ .

Multiplicando esto por $\frac{\partial OF}{\partial \phi}$ Finalmente consigo $-C_1\phi F(\phi(u-\eta)+\eta -c)$ . Pero $\frac{\partial OF}{\partial N}$ evalúa a $C_1\phi F(\phi(u-\eta)+\eta -c)$ por lo que los dos términos se anulan mutuamente.

Entonces pensé, tal vez tengo que calcular $\frac{d\phi}{dN}$ ya que este es el equilibrio y no necesitamos la condición ceteris paribus. De la función implícita, tomé la derivada de toda la expresión wrt N. Esto es lo que obtengo:

$\frac{\partial \phi}{\partial N}NF(\phi(u-\eta)+\eta -c)+\phi F(\phi(u-\eta)+\eta -c)+\phi Nf(\phi(u-\eta)+\eta -c)\frac{\partial \phi}{\partial N}(u-\eta)$ Aquí $f()$ es el pdf.

Sustituyo el valor de $\frac{\partial \phi}{\partial N}$ del teorema de la función implícita y $\frac{d\phi}{dN}$ se evalúa a cero. Esto también ocurre cuando sigo este procedimiento para otros parámetros, por ejemplo $\eta$ .

Answer 1

Consideremos el problema de minimización $$OF(N,u,\eta,c) = \min_\phi C_1 S(\phi; N,u,\eta,c)$$ Aquí, estoy asumiendo que la minimización es con respecto a $\phi$ . (no sé si esto es correcto ya que no se especifica en su modelo).

Dejemos que $\phi^\ast(N,u,\eta,c)$ sea la solución óptima (supuestamente única). Y suponer que se identifica por la condición de primer orden adecuada.

Entonces podemos utilizar el teorema de la envolvente para concluir que: $$\frac{d OF(N,u,\eta,c)}{d N} = C_1 \frac{d S(\phi^\ast; N, u, \eta, c)}{d N} = C_1 \phi^\ast F(\phi^\ast(u-\eta) + \eta - c).$$

Estoy principalmente adivinando aquí, ya que no está muy claro en tu pregunta qué variable se establece endógenamente por la condición de equilibrio y sobre qué variable estás minimizando.