Representación de la utilidad de las preferencias de un solo pico

Question

¿Es cierto que una preferencia de un solo pico (con el pico en algún punto finito) sobre el conjunto de números reales, siempre tiene una representación de utilidad?

Si la respuesta es afirmativa, ¿podría indicar la prueba o las referencias?

¿Es este resultado generalizable a la monocapa multidimensional?

Answer 1

No. Básicamente, puedes codificar una forma de preferencias lexicográficas probablemente el ejemplo más conocido de preferencias no representables, ya que las preferencias de un solo pico en $\mathbb{R}$ .

Definir $\succeq$ para que $x\succeq y$ exactamente si $|x|<|y|$ o $|x|=|y|$ y $x\leq y$ . Básicamente, cuanto más cerca del pico de $0$ un número, mejor, y en caso de empate, el número a la izquierda de $0$ es mejor.

Supongamos, en aras de la contradicción, que existe una representación de utilidad $v:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de $\succeq$ . Para cada $r\in\mathbb{R}_{++}$ (los números estrictamente positivos), dejemos que $q_r$ sea un número racional en el intervalo $\big(v(r),v(-r)\big)$ . Ya que para $r\neq r'$ , $\big(v(r),v(-r)\big)\cap\big(v(r'),v(-r')\big)=\emptyset$ tenemos una inyección $r\mapsto q_r$ de $\mathbb{R}_{++}$ a $\mathbb{Q}$ lo cual es imposible ya que $\mathbb{R}_{++}$ es incontable y $\mathbb{Q}$ es contable.