Este es un teorema clásico en la teoría de los juegos, que se deja como un excersice en mi libro de texto. ¿Puede alguien demostrarlo? No se me ocurre nada más que la definición del equilibrio correlacionado en primer lugar. Aquí está el teorema y la definición también.
$\mathbf{Theorem:}$ Para cada equilibrio de Nash $\sigma^*$ la distribución de probabilidad $p_{\sigma^*}$ es un equilibrio correlacionado.
$\mathbf{Definition:}$ Una distribución de probabilidad $p$ sobre el conjunto de vectores de acción $S$ se llama un equilibrio correlacionado si el vector de estrategias $\tau^*$ es un equilibrio de Nash del juego $\Gamma^*(p)$ . En otras palabras, para cada jugador $i N$ :
\begin{equation}\Sigma_{s_{-i}\in S_{-i}}p(s_i,s_{-i})u_i(s_i,s_{-i})\geq \Sigma_{s_{-i}\in S_{-i}}p(s_i,s_{-i})u_i(s^{'}_i,s_{-i}),\quad\text{$\forall s_i,s^{'}_i\in S_i$}\end{equation}
Cada vector de estrategia $\sigma$ induce una distribución de probabilidad $p_{\sigma^*}$ sobre el conjunto de vectores de acción $S$ . \begin{equation}p_{\sigma^*}(s_1,...,s_n)=\sigma_1(s_1)\times\sigma_2(s_2)\times...\times\sigma_n(s_n)\end{equation}
$\textit{Hint:}$ Cuando nos referimos a un equilibrio de Nash $\sigma^*$ como equilibrio correlacionado nos referimos a la distribución de probabilidad $p_{\sigma^*}$ dada por la mencionada ecuación:
