Con frecuencia me encuentro con las siguientes dos versiones de escribir las preferencias de CIES o CRRA:
$$u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}-1}{1 - \theta}$$
...y...
$$u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}}{1 - \theta}$$
La única diferencia entre ambos es la inclusión u omisión del -1 en el numerador.
No puedo entender cuál es la diferencia funcional de estas dos formas.
¿Hay alguna? ¿Cuál es el razonamiento entre las diferentes formas de escribirlo?
Esta primera función es la función CRRA "original".
$$u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}-1}{1 - \theta}$$
La segunda función es una transformación monótona de la primera. La transformación monótona de cualquier función de utilidad seguirá representando las mismas preferencias (la transformación monótona preserva el orden de las preferencias).
$$u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}}{1 - \theta}$$
La gente suele utilizar la transformación monótona por comodidad matemática. Así que, para ahorrar tiempo y esfuerzo, se puede utilizar la segunda pregunta, que sigue representando las mismas preferencias de los consumidores que la primera, pero es más fácil trabajar con ella.
Sin embargo, como señaló Michael Greinecker en los comentarios, esta es también una transformación afín positiva, por lo que podría no ser siempre apropiada en algunos casos estocásticos o si usted se preocupa por tener preferencias de tiempo aditivamente separables.
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