Prueba de que la diferencia en la diferencia (con el tamaño de la muestra) de la expectativa de una estadística de primer orden es positiva (Stigler 1961)

Question

Intento demostrar una afirmación hecha en Stigler (1961), "La economía de la información". Esta afirmación tiene que ver con la demostración de que el beneficio marginal de hacer una búsqueda adicional (por ejemplo, buscar una tienda adicional para un precio más bajo) es decreciente en el número de búsquedas.

Dejemos que $F$ sea la distribución de los precios $p$ . Entonces, el valor esperado del precio mínimo después de $n$ búsquedas es $$E(n) \equiv n \int_0^\infty p (1-F)^{n-1} F' \mathrm d p.$$ En el documento se afirma que $$[E(n+2) - E(n+1)] - [E(n+1) - E(n)] > 0.$$

He encontrado una pregunta relacionada aquí . Sin embargo, esta pregunta vinculada considera el máximo de arbitrariedad $n_1 < n_2 < n_3$ . Aquí, estoy considerado sólo con la afirmación tal y como aparece en el artículo de Stigler. ¿Alguien sabe cómo probar esto?

Notas:

• No estoy seguro de que "convexo" sea el término correcto. La pregunta enlazada y su respuesta plantean algunas dudas de que sea convexo en el sentido estricto de la palabra. Supongo que lo que busco es sólo las diferencias en las diferencias (¿una condición más débil que la convexidad?).

Answer 1

Bueno, no se puede tomar la derivada de $E(n)$ con respecto a $n$ porque $n$ es una variable entera.

De forma más general, se quiere demostrar una propiedad con respecto a $n$ . El problema que tiene es que el dominio correspondiente no es un conjunto convexo: digamos que para $n$ y $n+1$ , $0<\lambda <1$ el valor $\lambda n + (1-\lambda) (n+1) = n+1-\lambda$ no pertenece al dominio ya que no es un número entero. Pero si el dominio de la función, con respecto a la variable que te interesa, no es un conjunto convexo, el concepto de convexidad/concavidad ni siquiera está definido (quizás en las matemáticas superiores tengan algún concepto más matizado para acomodarlo).

Para determinar si la desigualdad que se desea se mantiene, un enfoque algebraico de fuerza bruta es examinar su signo directamente: tenemos

$$[E(n+2) - E(n+1)] - [E(n+1) - E(n)] =\\= (n+2) \int_0^\infty p (1-F)^{n+2-1} F' \mathrm d p \\- 2 (n+1) \int_0^\infty p (1-F)^{n+1-1} F' \mathrm d p\\ +n \int_0^\infty p (1-F)^{n-1} F' \mathrm d p$$

$$= \int_0^\infty p (1-F)^{n-1} F'\cdot\Big[(n+2)(1-F)^2 - 2(n+1)(1-F)+n\Big] \mathrm d p$$

Haciendo el álgebra

$$(n+2)(1-F)^2 - 2(n+1)(1-F)+n \\= n(1-F)^2 + 2(1-F)^2 - 2n(1-F) - 2(1-F) +n \\ = n\Big[(1-F)^2 - 2(1-F) +1\Big] - 2(1-F)F \\ = n [(1-F) -1]^2 - 2(1-F)F = nF^2 - 2(1-F)F = F\Big[nF-2+2F\Big]\\ =F\cdot \Big[(n+2)F-2\big]$$

Así que hemos llegado a

$$[E(n+2) - E(n+1)] - [E(n+1) - E(n)] = \int_0^\infty p (1-F)^n F'\cdot\Big[(n+2)F-2\Big] \mathrm d p$$

Romper y manipular,

$$[E(n+2) - E(n+1)] - [E(n+1) - E(n)] = \\=(n+2)\int_0^\infty p (1-F)^{n+1} F' \mathrm d p \\- \left(\frac{2}{n+1}\right)(n+1)\int_0^\infty p (1-F)^n F'\mathrm d p$$

$$\implies [E(n+2) - E(n+1)] - [E(n+1) - E(n)] = E(n+2)-\frac{2}{n+1}E(n+1)$$

Simplificando $E(n+2)$ de ambos lados obtenemos

$$-2E(n+1) + E(n) = -\frac{2}{n+1}E(n+1)$$

$$\implies E(n) = \frac {2n}{n+1}E(n+1)$$

y por inducción

$$\implies E(n+1) = \frac {2(n+1)}{n+2}E(n+2) \implies E(n+2) = \frac {n+2}{2(n+1)}E(n+1)$$

Por lo tanto,

$$[E(n+2) - E(n+1)] - [E(n+1) - E(n)] =$$ $$= \left(\frac {n+2}{2(n+1)} -1\right)E(n+1) - \left( 1- \frac {2n}{n+1}\right)E(n+1)$$ $$= \left(\frac {n+2}{2(n+1)} -1 - 1+ \frac {2n}{n+1}\right)E(n+1)$$

$$=\frac {n+2 - 4(n+1) + 4n}{2(n+1)}E(n+1) = \frac {n-2}{2(n+1)}E(n+1)$$

Así que $n=1$ no es una búsqueda, pues $n=2$ tenemos igualdad, y para $n\geq 3$ la desigualdad se mantiene.

Answer 2

Este es mi intento. Como he señalado en la pregunta (véase la pregunta vinculada también), tengo mis dudas.

Queremos demostrar que $$\begin{align} [E(n+2) - E(n+1)] - [E(n+1) - E(n)] &> 0 \tag{1}\\ E[n+2] + E[n] &> 2 E[n+1] \notag \\ \frac 1 2 E[n+2] + \frac 1 2 E[n] &> E[1/2 (n+2) + 1/2 n] = E[n+1]. \notag \end{align}$$ Desde $$E(n) \equiv n \int_0^\infty p (1-F)^{n-1} F' \mathrm d p,$$ vemos que $E$ es una función de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ . Sin embargo, en el contexto de la búsqueda, restringimos su dominio a los enteros positivos. Sin embargo, si demostramos que la función no restringida $E[n]$ es convexo en $n$ es fácil ver que la ecuación (1) es verdadera por la desigualdad de Jensen.

Podemos ver que $$\begin{align*} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d n^2} E[n] &= 2 \int_0^\infty p F' (1-F)^{n-1} \ln(1-F) \mathrm d p + \int_0^\infty p F' (1-F)^{n-1} [\ln(1-F)]^2 \mathrm d p \\ &= \int_0^\infty p F' (1-F)^{n-1} \ln(1-F)(2 + n \ln(1-F)) \mathrm d p. \end{align*}$$ Ahora, para un tamaño suficientemente grande $n$ Esto es positivo. Por lo tanto, $E[n]$ es convexo en $n$ y hemos terminado.