Me parece que lo que quieren decir es que cada límite puede verse como una función del parámetro o parámetros en la parametrización y que esta función es continua de Lipschitz.
Un ejemplo: Consideremos el plano XY. Sea $Y(x)$ sea una función de $x$ . Esta función puede verse como una descripción del límite superior del área bajo el gráfico. Esta función puede entonces tener la propiedad Lipschitz, lo que significa que para todo $x_1$ y $x_2$ tenemos $$ |Y(x_1)-Y(x_2)| < K|x_1 - x_2| $$ para alguna constante $K>0$ independiente de la $x_1$ y $x_2$ elegido.
Si no estás muy familiarizado con la continuidad de Lipschitz, puedes interpretar que la función es bastante bonita. Es continua y aún más. Por ejemplo, puedes observar que todos los cocientes de diferencias están acotados. Tome cualquier $x$ y algunos pequeños $h>0$ y elija $x_1 = x+h$ y $x_2=x$ .
$$ |Y(x+h)-Y(x)| < Kh \Leftrightarrow \frac{|Y(x+h)-Y(x)|}{h} < K $$ Así que si la función tiene una derivada en algún punto su valor absoluto está acotado por $K$ . El valor absoluto de la pendiente entre dos puntos de la gráfica está siempre limitado por $K$
Sin embargo, una función continua de Lipschitz no tiene por qué ser diferenciable, pero en cierto modo puede considerarse que está entre las funciones continuas y las funciones diferenciables en la escala de "bondad". Cualquier función continua diferenciable es, al menos localmente (como en un intervalo acotado), Lipschitz. Esto es fácil de demostrar a partir de la definición.
Tiene la definición correspondiente en varias dimensiones si tiene funciones de varias variables y/o funciones con valor vectorial: Si $Y$ es una función a partir de los parámetros donde la salida es un vector de límites, la condición de Lipschitz es más o menos la misma pero con normas vectoriales utilizadas: $$ || Y(x_1) - Y(x_2) || < K ||x_1 - x_2|| $$ para todos $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ y $Y(x_1), Y(x_2) \in \mathbb{R}^m$ para algunas dimensiones $n$ y $m$ .
