En esta respuesta, estoy asumiendo que quieres mantener constantes las correlaciones.
Para empezar, hay que tener en cuenta que el $N\times N$ matriz de covarianza $\Sigma$ con el elemento $\Sigma_{i,j}=Cov(x_i,x_j)$ puede escribirse como
$$ \Sigma = \mathbf{SRS} $$
donde $\mathbf{S}$ es una matriz diagonal de las volatilidades simples $\sigma_i$ y $\mathbf{R}$ es la matriz de correlación. Por lo tanto, en un sentido matricial,
$$ \frac{\partial \mathbf{\Sigma}}{\partial\sigma_i}=\frac{\partial\mathbf{SRS}}{\partial\sigma_i}=\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\sigma_i}\mathbf{RS}+\mathbf{SR}\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\sigma_i} $$
La derivada de $\mathbf{S}$ con respecto a $\sigma_i$ es una matriz diagonal de ceros, cuya $i$ Este elemento es $1$ . Es un matriz de una sola entrada o un matriz de selección que denotaremos $\mathbf{E}_i$ . Por ejemplo, para $\mathbf{E}_2$ es
$$ \mathbf{E}_2=\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &0\\ 0&1&0&\ldots &0\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ 0&0&0&\ldots &0\\\end{pmatrix} $$
Por lo tanto,
$$ \frac{\partial\mathbf{\Sigma}}{\partial\sigma_i}=\mathbf{E}_i\mathbf{RS}+\mathbf{RS}\mathbf{E}_i $$
Así, el impacto marginal de un cambio en (cualquiera) de las volatilidades sobre la varianza de la cartera $v=\mathbf{w}^T\mathbf{\Sigma} \mathbf{w}$ puede calcularse como (tras un poco de álgebra)
$$ \frac{\partial v}{\partial \mathrm{diag(S)}}=\mathbf{w}^T\frac{\partial \mathbf{\Sigma}}{\partial \mathrm{diag(S)}}\mathbf{w}=2\mathbf{w}\otimes \left(\mathbf{RSw} \right)$$ donde $\otimes$ denota la multiplicación por elementos, es decir $x\otimes y = \mathrm{diag}(xy^T)$ . Convenientemente, esta formulación devuelve todas las derivadas a la vez.
Ejemplo : Con
$$ \mathbf{S}=\mathrm{diag}\begin{pmatrix}0.1&0.2&0.3\end{pmatrix} $$ y $$ \mathbf{R}=\begin{pmatrix}1 & 0.5 & 0.25 \\ 0.5 & 1 & 0.1 \\ 0.25 & 0.1 & 1\end{pmatrix} $$ y un vector de pesos
$$ \mathbf{w}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.3 & 0.5\end{pmatrix}^T $$
encontramos
$$ \frac{\partial v}{\partial \mathrm{diag(S)}}=2\mathbf{w}\otimes \left(\mathbf{RSw} \right)=2\begin{pmatrix}.2\\.3\\.5\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0.0875\\0.085\\0.161\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.035\\0.051\\0.161\end{pmatrix} $$
Así, por ejemplo, la sensibilidad de la varianza de la cartera con respecto a la primera volatilidad es de 0,035.
Con un poco más de álgebra, se puede encontrar el impacto de los vols independientes en cualquier solución de optimización de la cartera, por ejemplo, el MVP. Utilizando los resultados anteriores y el hecho de que $\sigma_{MVP}=\frac{1}{\mathbf{1}^T{\Sigma^{-1} 1}}$ y el conocimiento de que $\mathbf{\Sigma}^{-1}=\mathbf{S}^{-1}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}^{-1}$ .
