Contribución de la desviación de un activo a la desviación de la cartera

Question

¿Cómo puede un variación del activo , $\sigma_i^2$ se demuestre que contribuye a variación de la cartera , $\sigma_p^2$ ?

Estaba pensando en tomar la derivada (condiciones de primer orden $\frac{\partial L_{\sigma_p^2}(w,\lambda)}{\partial \sigma_i}$ ) de la formulación lagrangeana de la función objetivo de la cartera de mínima varianza, por ejemplo, pero no estoy seguro de que este sea el enfoque correcto ya que la idea es especular antes de la optimización La varianza de un activo contribuirá a la varianza de la cartera, basándose en el nivel de varianza (o volatilidad) independiente de ese activo. Además, las varianzas de los activos no aparecen en el Lagrangean de la varianza de la cartera.

Una derivación demostrada de la $\frac{\partial L_{\sigma_p^2}(w,\lambda)}{\partial \sigma_i}$ Las condiciones de primer orden podrían marcar la mejor respuesta, pero también están abiertas a sugerencias alternativas.

Answer 1

En esta respuesta, estoy asumiendo que quieres mantener constantes las correlaciones.

Para empezar, hay que tener en cuenta que el $N\times N$ matriz de covarianza $\Sigma$ con el elemento $\Sigma_{i,j}=Cov(x_i,x_j)$ puede escribirse como

$$\Sigma = \mathbf{SRS}$$

donde $\mathbf{S}$ es una matriz diagonal de las volatilidades simples $\sigma_i$ y $\mathbf{R}$ es la matriz de correlación. Por lo tanto, en un sentido matricial,

$$\frac{\partial \mathbf{\Sigma}}{\partial\sigma_i}=\frac{\partial\mathbf{SRS}}{\partial\sigma_i}=\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\sigma_i}\mathbf{RS}+\mathbf{SR}\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\sigma_i}$$

La derivada de $\mathbf{S}$ con respecto a $\sigma_i$ es una matriz diagonal de ceros, cuya $i$ Este elemento es $1$ . Es un matriz de una sola entrada o un matriz de selección que denotaremos $\mathbf{E}_i$ . Por ejemplo, para $\mathbf{E}_2$ es

$$\mathbf{E}_2=\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &0\\ 0&1&0&\ldots &0\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ 0&0&0&\ldots &0\\\end{pmatrix}$$

Por lo tanto,

$$\frac{\partial\mathbf{\Sigma}}{\partial\sigma_i}=\mathbf{E}_i\mathbf{RS}+\mathbf{RS}\mathbf{E}_i$$

Así, el impacto marginal de un cambio en (cualquiera) de las volatilidades sobre la varianza de la cartera $v=\mathbf{w}^T\mathbf{\Sigma} \mathbf{w}$ puede calcularse como (tras un poco de álgebra)

$$\frac{\partial v}{\partial \mathrm{diag(S)}}=\mathbf{w}^T\frac{\partial \mathbf{\Sigma}}{\partial \mathrm{diag(S)}}\mathbf{w}=2\mathbf{w}\otimes \left(\mathbf{RSw} \right)$$ donde $\otimes$ denota la multiplicación por elementos, es decir $x\otimes y = \mathrm{diag}(xy^T)$ . Convenientemente, esta formulación devuelve todas las derivadas a la vez.

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Ejemplo : Con

$$\mathbf{S}=\mathrm{diag}\begin{pmatrix}0.1&0.2&0.3\end{pmatrix}$$ y $$\mathbf{R}=\begin{pmatrix}1 & 0.5 & 0.25 \\ 0.5 & 1 & 0.1 \\ 0.25 & 0.1 & 1\end{pmatrix}$$ y un vector de pesos

$$\mathbf{w}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.3 & 0.5\end{pmatrix}^T$$

encontramos

$$\frac{\partial v}{\partial \mathrm{diag(S)}}=2\mathbf{w}\otimes \left(\mathbf{RSw} \right)=2\begin{pmatrix}.2\\.3\\.5\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0.0875\\0.085\\0.161\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.035\\0.051\\0.161\end{pmatrix}$$

Así, por ejemplo, la sensibilidad de la varianza de la cartera con respecto a la primera volatilidad es de 0,035.

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Con un poco más de álgebra, se puede encontrar el impacto de los vols independientes en cualquier solución de optimización de la cartera, por ejemplo, el MVP. Utilizando los resultados anteriores y el hecho de que $\sigma_{MVP}=\frac{1}{\mathbf{1}^T{\Sigma^{-1} 1}}$ y el conocimiento de que $\mathbf{\Sigma}^{-1}=\mathbf{S}^{-1}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}^{-1}$ .

Answer 2

La "solución" lagrangiana puede dar negativo contribuciones al riesgo de la cartera, lo que es un mal aspecto. Una definición alternativa es a través de root cuadrada simétrica de la covarianza, $\Sigma^{1/2}$ . Para la cartera $\vec{w}$ definir $$\vec{r} = \Sigma^{1/2}\vec{w}.$$ La norma de $\vec{r}$ es la volatilidad de la cartera. Además, esta definición es equivariante con respecto a las rotaciones del espacio de activos (el uso de root cuadrada de Cholesky no produciría esta propiedad), y por tanto elemental $\vec{r}$ puede identificarse con los activos individuales. Véase también no hay paridad como la paridad de riesgo .