Proceso de Ornstein-Uhlenbeck - integración por partes

Question

Al derivar la solución de la ecuación diferencial estocástica que modela el proceso Ornstein-Uhlenbeck, Paul Wilmott (Paul Wilmott on Quantitative Finance, capítulo 4, página 87) realiza la siguiente integración por partes ( $X$ es normal):

$$\int_0^t e^{\gamma(s-t)} \, dX(s) = X - \gamma \int_0^t e^{\gamma(s-t)}X(s) \, ds$$

Estaba tratando de replicar este resultado utilizando el siguiente resultado del cálculo:

$$u=e^{\gamma(s-t)} \implies du = \gamma e^{\gamma(s-t)} \, ds$$ $$dv = dX(s) \implies v = X(s)$$

Entonces, podríamos escribir

$$\int_0^t u\, dv = u\,v|_0^t - \int_0^t v \, du = X(1-e^{-\gamma t})-\gamma \int_0^t e^{\gamma(s-t)}X(s) \, ds$$

que es diferente de su solución original. ¿Dónde está mi error? ¿Hay alguna otra forma de evaluar la integración por partes en el contexto del cálculo estocástico?

Answer 1

En primer lugar, si $u=e^{\gamma (s-t)}$ entonces $\frac{du}{ds} = \gamma e^{\gamma(s-t)} \iff du=\gamma e^{\gamma(s-t)} \,ds$ . Ahora, en el proceso Ornstein-Uhlenbeck $X_t$ es un proceso de Wiener y satisface $X_0 = 0 \: \: \text{a.s.}$ (ver este y este ). Entonces, el primer término de la fórmula de integración por partes especificada anteriormente te da:

$$uv\vert^t_0 = e^{\gamma (t-t)} X_t - e^{\gamma (0-t)} X_0 = X_t$$

En conclusión, obtenemos: \begin{align} \int_0^t u \: dv &= uv\vert^t_0 - \int_0^t v \: du\\ &= X_t - \int_0^t X(s) \gamma e^{\gamma(s-t)} \,ds\\ &= X_t - \gamma\int_0^t e^{\gamma(s-t)} X(s) \,ds \end{align}

Creo que esta debería ser la esencia.