Atribuir P&L a los vectores PCA (intercambios)

Question

Aquí tengo los datos de los swaps diarios de Estados Unidos para 2020 https://easyupload.io/yh4rnd . He ejecutado PCA en datos estandarizados y he obtenido la matriz PCA (y las estadísticas básicas):

También tengo esa hipotética cartera que en este ejemplo está ganando +$195k.

Pregunta: ¿Cómo atribuyo estas pérdidas y ganancias a cada componente principal, de manera que el número total de pérdidas y ganancias sea igual a +195.000 dólares?

Trabajando a través de la sugerencia de Dimitri:

Suponiendo que no podemos revalorizar completamente la cartera utilizando una curva de tipos de interés perturbada, optaremos por los DV01. Para calcular el ci para cada PCi, convertí el PCA en datos estandarizados a datos no estandarizados y calculé los pesos para cada tenor x PC, luego para cada PCi calculé la apertura y el cierre en % (por ejemplo, PC1 abrió a 1,94 y cerró a 1,89) con c1 equivalente a -5,58 pb (lo comprobé, cada PCi es ortogonal). Luego utilicé las mismas ponderaciones para convertir el riesgo original del libro hipotético en PCi. Luego multiplico ciPCi x para obtener P&L. Pero no parece coincidir, ¿qué paso estoy haciendo mal?

Answer 1

El PnL lineal suele estimarse correctamente mediante el producto interno de los riesgos y los movimientos del mercado::

$$ Pnl = S \cdot \Delta r = S^T \Delta r$$

Cuando se aplica una transformación lineal a esos riesgos para expresarlos en alguna otra base matemática (por ejemplo, la representación PCA), entonces se tiene alguna matriz de transformación, $T$ y es más fácil demostrar que el PnL es invariante si se realiza lo siguiente:

$$ \underbrace{T S}_{\text{transformed risk}} \cdot \underbrace{T^{-T} \Delta r}_{\text{transformed changes}} = S^T T^T T^{-T} \Delta r = S^T \Delta r = Pnl$$

Por lo tanto, los movimientos del mercado deben transformarse utilizando la transposición inversa de la matriz de transformación original.

Matemáticamente se trata de una expresión de transformaciones covariantes y contravariantes, si te interesa investigar más.

Tenga en cuenta que debería poder comprobar sus cálculos de la matriz suministrando los riesgos de su cartera de forma que se alineen con un solo PC (por ejemplo, el primero) y asegurarse de que los riesgos resultantes del PCA parecen mostrar el riesgo exclusivamente para este PC, como en:

Answer 2

En su día, solía hacer precisamente esto de forma cruzada. El punto crítico es que las correlaciones de cualquiera de tus PC con cualquier otro PC serán cero, si no habrás calculado mal tus PC en primer lugar.

Como esto es un hecho, puedes hacer una regresión de tus ganancias y pérdidas con todos y cada uno de los PC de forma aislada, con la seguridad de que todos los demás son irrelevantes, porque no están relacionados en absoluto ;-)

La fórmula de Excel "=SLOPE(y-array,x-array)" suele ser suficiente. A veces, la intercepción creará divertidos. En ese caso, "=SUMPRODUCTO(matriz y matriz x,matriz x x-array)" (es decir, una regresión sin intercepción) suele funcionar.

Espero que esto ayude, DEM

Answer 3

Tienes razón - he buscado, y hay muchos buenos tutoriales sobre la curva IR PCA por ahí, por ejemplo. https://mockquant.blogspot.com/2010/12/principal-component-analysis-to-yield.html , https://plus.credit-suisse.com/r/kv66a7 pero no veo en ningún sitio una buena explicación de la atribución de las pérdidas y ganancias a los cambios de la curva IR en términos de PC. Por lo tanto, voy a esbozarlo. Por favor, pregunten si algún detalle no está claro y sugieran ediciones si ven errores.

Suponemos que:

Se utilizan los mismos instrumentos en el día 0 y en el día 1 para hacer un bootstrap de la curva de tipos de interés. La curva de tipos de interés está definida por los niveles de los instrumentos.

Conoce el cambio de cada instrumento del día 0 al día 1.

Usted conoce las cargas (el peso de cada instrumento) del $p$ componentes principales, denominados $PC_1\ldots PC_p$ .

Sin embargo, no quiero asumir que las sensibilidades de los tipos de interés son estrictamente lineales, es decir, que los dv01 nos cuentan toda la historia del riesgo IR. Más bien, queremos que la metodología funcione incluso para instrumentos muy poco lineales. Si se puede, se debe revalorizar completamente la cartera utilizando una curva de tipos de interés perturbada. Sin embargo, si no se puede revalorizar por completo y hay que estimar las pérdidas y ganancias a partir de los dv01, dejemos que $\delta$ denotan el vector de dv01 (P&L de pequeños cambios en cada instrumento, deltas de tipos de interés).

Dejemos que $Y_0$ denotan la curva de tipos de interés en el día 0, $M_0$ la marca del mercado en el día 0, y $Y_f$ denotan la curva de tipos de interés en el día 1.

Para explicar las pérdidas y ganancias, queremos explicar el cambio en los niveles de la curva de tipos de interés de $Y_0$ a $Y_1$ en términos de los PC's - cada uno $PC_i$ movido por algunos $c_i$ que encontraremos.

Para $i=1$ a $p$ - iniciar el bucle de los componentes principales

Resolver para $c_i$ la variación de los tipos de interés atribuible a $PC_i$ que minimiza la distancia entre $Y_i \stackrel{\mathrm{def}}{=} Y_{i-1} + c_i PC_i$ y $Y_f$ .

Para una mayor transparencia, la salida $c_i$ y $c_i PC_i$ - los cambios en los instrumentos explicados por $PC_i$ .

Estimar la contribución a las ganancias y pérdidas de cada instrumento multiplicando $\delta$ y $c_i PC_i$ . Comunique estas estimaciones de pérdidas y ganancias y su suma (las pérdidas y ganancias de $PC_i$ mover las estimaciones de los dv01).

Si puede revalorizar completamente el profolio: deje $M_i$ denotan el mercado de valores utilizando la curva $Y_i$ . Informe $M_i - M_{i-1}$ como la más precisa de las ganancias y pérdidas atribuibles al $c_i$ cambio en $PC_i$ .

Para una visión más completa, si $i>1$ , entonces dejemos que $y'_i$ denotan $y_0 + c_i PC_i$ - la curva de interés obtenida perturbando sólo $PC_i$ y ningún otro PC. Reprime el profolio: deja $M'_i$ denotan el mercado de valores utilizando la curva $Y'_i$ . Informe $M'_i - M_0$ como las ganancias y pérdidas atribuibles al $c_i$ cambio en $PC_i$ y ningún otro PC.

De lo contrario, si no quiere revalorizar por completo, sólo tiene que utilizar las pérdidas y ganancias estimadas a partir de las dv01.

Siguiente $i$ - bucle final en los componentes principales

Informar de las pérdidas y ganancias residuales no explicadas por esta metodología.