Optimización de Cobbs-Douglas dada la producción

Question

Estoy tratando de encontrar L $^*$ y K $^*$ (Trabajo y Capital respectivamente) dado lo siguiente:

Q = $K^{1/4}$ $L^{3/4}$ donde Q = 120, w= $24, and r=$ 128 (No estoy seguro de si necesita w y r)

Sé que si puedo encontrar L $^*$ o K $^*$ , puedo encontrar el otro fácilmente.

He encontrado aquí varias preguntas relacionadas con Cobbs-Douglas, pero ninguna en la que se dé Q. Un ejemplo cercano es este pero no tengo una restricción de presupuesto.

Answer 1

El problema consiste básicamente en derivar la función de costes de una empresa. Lo que hay que hacer es minimizar los costes dada la producción. Es decir $$\min\limits_{K,L} w \cdot L + r \cdot K$$ con sujeción a $$K^{\frac{1}{4}} \cdot L^{\frac{3}{4}} = Q = 120.$$ Se puede resolver mediante Lagrange o el teorema de la función implícita (aplicación similar a la del MRS).