Estoy leyendo un artículo ( Manuelli y Seshadri 2014 ) que utilizan un modelo neoclásico para modelar la difusión de la tecnología. No puedo entender la condición de arbitraje que se utiliza para calcular el precio de la renta en el servicio de la máquina utilizado en la función de producción. Reformulo una versión simplificada del modelo como se indica a continuación.
Supongamos que existen mercados de alquiler completos. Y supongamos que los servicios de las máquinas pueden ser prestados por máquinas de diferentes añadas $\gamma$ . El problema de maximización del lado de la producción es $$\max_{k_t, l_t} p_{ct}F(k_t,l_t) - \sum_{\tau=-\infty}^{t}\left[q_{k t}(\tau)+c_{k t}(\tau)\right] m_{k t}(\tau) - w_{t}l_{t}$$ , donde $k_{t}=\sum_{\tau=-\infty}^{t} m_{k t}(\tau) \left(1-\delta_{k \tau}\right)^{t-\tau}$ , $m_{k t}(\tau)$ es la cantidad de máquinas de la cosecha $\tau$ , $q_{k t}(\tau)$ es el precio de alquiler de la máquina, y $c_{k t}(\tau)$ es el coste de funcionamiento de la máquina.
Si no hay arbitraje, el precio de la máquina de la cosecha $\tau$ debe ser $q_{k t}(\tau)=p_{k t}(\tau)-\frac{p_{k t+1}(\tau)}{1+r_{t+1}}$ , donde $r$ es el tipo de interés. Además, el documento dice que para una nueva máquina en el momento $t$ , ningún argumento de arbitraje implica $$q_{k t}(t)=p_{k t}\left[1-R_{t}(1)\left(1-\delta_{k t}\right)\right]+\delta_{k t} C(t+1, T-1)$$ , donde $C(t+1, T-1) \equiv \sum_{j=0}^{T-1} R_{t+1}(j) c_{k t+1+j}$ y $R_{t}(j) \equiv \prod_{k=1}^{j}\left(1+r_{t+k}\right)^{-1}$ . Los autores explican que el primer término del lado derecho traduce el precio de una máquina en su equivalente de flujo, mientras que el segundo término del lado derecho capta "el aumento del coste por unidad de servicios de la máquina asociado a la explotación de una máquina de un año, en relación con una máquina nueva".
Lo que no puedo entender es la intuición de esta ecuación de no arbitraje de la máquina nueva, principalmente por la parte del valor actual descontado del coste de explotación.
Actualización:
Me parece que puedo entender mal la notación. Este requisito de no arbitraje es no para una máquina nueva pero una máquina con la vendimia $t$ es decir $q_{k t}(\tau = t)$ . Así que esto es realmente el precio de alquiler en el momento $t$ de una máquina producida en $t=0$ . También parece que el $p_{k t}$ en la ecuación debe ser $p_{k t}(t)$ es decir, el precio de la máquina con la cosecha $\tau =t$ en el momento $t$ . La razón de mi argumento es la siguiente.
En realidad, encuentro que al final del documento hay una sección de apéndices que derivan esta ecuación (aunque no se menciona en el texto principal). Dice que la fórmula $q_{k t}(\tau)=p_{k t}(\tau)-\frac{p_{k t+1}(\tau)}{1+r_{t+1}}$ "tiene el inconveniente de que depende del precio de las máquinas usadas". Y "como no se dispone de datos sobre los precios de las máquinas usadas, procedemos ahora a derivar una expresión para $q_{k t}(\tau)$ utilizando simples argumentos de arbitraje". Y la ecuación derivada (en versión completa) es $$q_{k t}(t)=p_{k t}(t)\left[1-R_{t}(1)\left(1-\delta_{k t}\right) \frac{\gamma_{c t}}{\gamma_{c t+1}}\right]+\left(1-\Delta_{t+1}\right) C(t+1, T-1)$$ .
En general, puedo seguir esta derivación, que es bastante complicada. Pero de nuevo, no entiendo la intuición de estos "simples argumentos de arbitraje" así como la intuición detrás de esta derivación. Parece que los autores sólo tienen el nuevo precio de la máquina en cada $t$ es decir $p_{kt}(0)$ y ahora a partir de la ecuación pueden estimar $q_{k t}(0)$ . (Ahora me surge una pregunta más: dado que en el mercado también hay máquinas antiguas que prestan servicios en cada momento, ¿cómo podemos deducir sus precios de alquiler? ¿Basta con el precio de alquiler de las máquinas nuevas para estimar el modelo?)
Copio la derivación en el apéndice siguiente para que sirva de referencia. Esta vez mantengo una versión completa del modelo ya que no estoy seguro de que haya algunos errores en la derivación original. La parte adicional es la calidad de la máquina $v(x_t)$ y el coste de la máquina $\gamma_{ct}$ para que $p_{k t}(t)=\frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)}{\gamma_{c t}}$ y $\tilde{k}_{t}(\tau) \equiv v\left(\mathbf{x}_{\tau}\right)\left(1-\delta_{k \tau}\right)^{t-\tau}$ . Y ahora $k_{t}=\sum_{\tau=-\infty}^{t} m_{k t}(\tau) \tilde{k}_{t}(\tau)$ .
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Se puede demostrar que la elección óptima de $m_{k t}(\tau)$ requiere que $$p_{c t} F_{k}(t) \tilde{k}_{t}(\tau)=p_{k t}(\tau)-\frac{p_{k t+1}(\tau)}{1+r_{t+1}}+c_{k t}(\tau)$$ .
Iterando hacia adelante y denotando por $T(\tau, t)$ el número de períodos de vida útil que un $t-\tau$ viejo tractor se ha ido, conseguimos que $$p_{k t}(\tau)=\sum_{j=0}^{T(\tau, t)} R_{t}(j)\left\{p_{c t+j} F_{k}(t+j) \tilde{k}_{t+j}(\tau)-c_{k t+j}(\tau)\right\}$$ .
Utilizando la estructura especial de $k_{t}(\tau)$ se deduce que $$\begin{aligned} p_{k t+1}(\tau)=& \gamma_{k \tau} v\left(\mathbf{x}_{\tau}\right)\left(1-\delta_{k \tau}\right)^{t+1-\tau} \sum_{j=0}^{T(\tau, t+1)} R_{t+1}(j) p_{c t+1+j} F_{k}(t+1+j)\left(1-\delta_{k \tau}\right)^{j} \\ &-\sum_{j=0}^{T(\tau, t+1)} R_{t+1}(j) c_{k t+1+j}(\tau) \end{aligned}$$ y $$\begin{aligned} p_{k t+1}(t)=& \frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)}{v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)} p_{k t+1}(t+1)-\left[1-\frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)}{v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)}\right] \sum_{j=0}^{T(t, t+1)} R_{t+1}(j) c_{k t+1+j} \\ &+\frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)}{v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)}\left\{\sum_{j=0}^{T(t, t+1)} R_{t+1}(j) p_{c t+1+j} F_{k}(t+1+j)\left(1-\delta_{k t}\right)^{j}\left(1-(1+\varphi)^{j}\right)\right.\\ &\left.-\sum_{j=T(t, t+1)}^{T(t+1, t+1)} R_{t+1}(j)\left[p_{c t+1+j} F_{k}(t+1+j)\left(1-\delta_{k t+1}\right)^{j}-c_{k t+1+j}\right]\right\} \end{aligned}$$ donde $\delta_{k t+1}=\delta_{k t}-\varphi\left(1-\delta_{k t}\right)$ .
Para simplificar la presentación, suponemos que dos cosechas consecutivas de tractores tienen la misma depreciación y vida económica $(\varphi=0$ y $T(t+1, t+1)=T(t, t+1)+1)$ . Además, suponemos que los costes de explotación varían a lo largo del tiempo, pero no están en función de la añada, es decir. $c_{k t+j}(\tau)=c_{k t+j},$ para todos $\tau .$ En este caso, utilizando la fórmula anterior para $\tau=t$ (tractores antiguos de una época) y $\tau=t+1$ (tractores nuevos) se deduce que $$\begin{aligned} p_{k t+1}(t)=& \frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)}{v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)} p_{k t+1}(t+1)-\left[1-\frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)}{v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)}\right] \sum_{j=0}^{T-1} R_{t+1}(j) c_{k t+1+j}(t) \\ &+\frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)}{v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)} R_{t+1}(T)\left[p_{c t+1+T} F_{k}(t+1+T) v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)^{T}-c_{k t+1+T}\right] \end{aligned}$$ .
Sin embargo, el último término entre corchetes debe ser cero, ya que un tractor de cosecha $t+1$ se desecha de forma óptima cuando el producto marginal de sus servicios de tractor restantes, $p_{c t+1+T} F_{k}(t+1+T) v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)^{T},$ es igual al coste marginal de explotación, $c_{k t+1+T}$
Que la depreciación "efectiva" de una cosecha $t$ tractor entre $t$ y $t+1$ sea $\Delta_{t+1} \equiv$ $\frac{v\left(\mathbf{x}_{t}\right)\left(1-\delta_{k t}\right)}{v\left(\mathbf{x}_{t+1}\right)} .$ De ello se deduce que, $q_{k t}(t)=p_{k t}(t)\left[1-R_{t}(1)\left(1-\delta_{k t}\right) \frac{\gamma_{c t}}{\gamma_{c t+1}}\right]+\left(1-\Delta_{t+1}\right) C(t+1, T-1)$ .
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