Error de seguimiento y seguimiento de índices

Question

Digamos que quiero replicar un índice como el S&P500. La gente suele minimizar una noción matemática llamada tracking error, que no es otra cosa que la desviación estándar entre los rendimientos del índice y los de nuestra cartera. Más concretamente, digamos que $r_{pf}$ sean los rendimientos de nuestra cartera y $r_{idx}$ sean los rendimientos del índice. Tenemos $TE = std(r_{pf}-r_{idx})$ .

No entiendo por qué minimizar este tracking error es suficiente para construir una cartera que siga al índice. Digamos que podemos minimizar el error de seguimiento muy cerca de 0, eso significa que la variable aleatoria $X$ definidos como $X = r_{pf} - r_{idx}$ tendrá una varianza nula, y por lo tanto $X$ es una variable aleatoria casi seguramente constante.

Sin embargo, ¿qué nos dice que la constante será igual a 0? Puede ser igual a cualquier cosa, ya que mientras $X$ es casi seguramente constante su varianza es nula. Esto no responde a nuestro problema original de seguimiento del índice en absoluto, ya que queríamos $r_{pf}$ para que sea aproximadamente igual a $r_{idx}$ .

Answer 1

Configuración: Diferencia de medias

Parece que su queja con esa definición de error de seguimiento es que no considera la diferencia media entre $r_{pf}$ y $r_{idx}$ . Hay un par de maneras de considerar su queja.

Consideremos dos carteras que siguen el índice: las carteras $A$ y $B$ con devoluciones $r_{P_A}$ y $r_{P_B}$ . Su preocupación parece ser si $\text{var}(r_{P_A}-r_{idx})=\text{var}(r_{P_B}-r_{idx})=0$ pero $r_{P_A}=r_{idx}<r_{P_B}$ : ambos $A$ y $B$ tienen 0 errores de seguimiento, pero $r_{P_B}-r_{P_A}=c>0$ .

¿Qué cartera es mejor?

En primer lugar, es cierto que si se puede elegir entre $A$ y $B$ preferimos la cartera $B$ . $B$ no rastrea el índice exactamente, sino que devuelve más. De este modo, tienes razón en que la definición de error de seguimiento parece obviar un detalle importante.

Preocupación por el arbitraje

Sin embargo, en segundo lugar, debería considerar lo que probablemente sucedería en este escenario. Tengo dos instrumentos que difieren en sus rendimientos sólo por una constante. Esto es libro de texto arbitraje: Yo corto $A$ y usar el dinero para comprar $B$ ganando $c$ . ¿Cuánto debo hacer? A lote -- como en "todo lo posible". A quién le importan los rendimientos de los índices cuando puedo ganar un $c$ sin tener que poner dinero? Las acciones de los arbitrajistas cerrarían esos precios hasta $r_{idx}=r_{P_A}=r_{P_B}$ .

Cuestiones prácticas: Límites de liquidez, crédito y riesgo

Tercero: debemos tener en cuenta los aspectos prácticos, ya que este hace realmente ocurren. Hay una serie de fondos indexados que replican el índice pero que tienen diferentes ratios de gastos. ¿Qué ha ocurrido en esos casos? Pues que muchos de los fondos indexados caros (con gastos elevados) son fondos de inversión y, por tanto, no se puede ir en corto.

Sin embargo, existen ETFs indexados que tienen diferentes ratios de gastos, y los ETFs pueden ponerse en corto. Por ejemplo, SPY tiene un ratio de gastos de aproximadamente 0,09%, mientras que VOO (que también sigue el índice S&P 500) tiene un ratio de gastos de aproximadamente 0,03%.

¿Por qué la gente no arbitra VOO frente a SPY? Pueden hacerlo, y probablemente lo hagan hasta cierto punto; sin embargo, los aspectos prácticos de la liquidez, el margen y el crédito se entrometen:

• El SPY suele tener un \$0.01 bid-ask spread (about 0.003%) and VOO typically has a \$ 0,03 de diferencia entre la oferta y la demanda (alrededor del 0,01%). Operar con uno frente al otro consumiría aproximadamente un 0,026% para la entrada y la salida, lo que reduce el beneficio a aproximadamente un 0,06% (siendo conservadores).
• El comercio requiere algún capital en una cuenta en un corredor de bolsa; no se puede abrir una cuenta sin dinero, con activos cortos para la financiación, y el comercio utilizando sólo ese capital.
• Poner en corto una de estas posiciones no le da una financiación completa para la otra posición debido a la Reg T; por lo tanto, necesita tener algo de capital para financiar la mitad de la posición larga.
• Por último, no se puede hacer esto en gran tamaño sin golpear los límites de posición en muchos corredores.

Resumen

En resumen, tienes razón en que preferiríamos una cartera que rindiera más entre opciones sin error de seguimiento frente a un índice. Algunos casos de carteras peores (con mayores gastos) existen -y persisten- porque son fondos de inversión que no se pueden poner en corto. Sin embargo, la mayoría de los casos de ETFs más caros no son mucho más caros, de modo que están dentro de los límites de arbitraje de los diferenciales de compra y venta más los préstamos para financiar la posición larga.

Answer 2

Al igual que muchos comentarios ya realizados, puede estar casi seguro de que la constante que "falta" en la metodología del tracking error estándar no será cero. Dado que el seguimiento tiene un coste positivo (normalmente mucho menor que los costes de gestión de los fondos activos en la misma clase de activos), se trata realmente de "Índice de referencia - Ratio de gastos totales" en primer lugar.

La minimización de la suma total de residuos cuadrados (RSS) entre el seguidor y el índice después de los costes obligaría al seguidor a posicionarse de forma que dejaría a cualquier usuario del seguidor con una exposición al riesgo diferente con respecto a los bonos, el oro, el crédito, etc., de la que tendría utilizando el propio índice en sus modelos, comparando con otras clases de activos. Así que hay un sentido en el que min-TE y aceptar algún arrastre es, de hecho, una representación más legítima del índice que una que es sólo de errores mínimos cuadrados. Si se consigue un mínimo (RSS), por ejemplo, manteniendo diferentes combinaciones de, por ejemplo, acciones tecnológicas y energéticas, entonces esto podría hacer que el fondo se comportara de forma diferente al índice en carteras diversificadas de activos múltiples. Porque la combinación de tecnología y energía tiene correlaciones, por ejemplo, con el petróleo y los bonos del Tesoro, que son diferentes de las del S&P500.

También se asume que el mero hecho de intentar mantener la misma combinación que el mercado en cualquier momento, también conocido como "réplica completa", que ballenas masivas como SPY pueden hacer de forma creíble a bajo coste, es una prueba de concepto básica y justa. Así que el error de seguimiento representa simplemente una métrica de eficiencia intuitiva (no una prueba de pureza estadística). Es posible construir un ETF que ofrezca un seguimiento puro menos un (pequeño) coste fijo sin error de seguimiento. Si el fondo simplemente obtiene el swap del índice correspondiente de un banco de inversión... excepto que entonces su error de seguimiento cercano a cero y su bajo RSS contienen un riesgo de crédito de contraparte inconmensurable e irreportable (que podría llegar a cero, creando un gran error de seguimiento) ;-) Es más fácil y mejor entonces mantener la misma combinación de acciones (y tomar lo duro con lo suave en cuanto a errores de seguimiento), que tratar de jugar el juego de la medición demasiado duro?