Estaba investigando fractales para mi presentación de matemáticas de último año y descubrí que uno de los pioneros más recientes en esa sección del campo era capaz de aplicar las matemáticas fractales al campo de la economía. Uno de sus primeros descubrimientos fue encontrar un patrón fractal en las fluctuaciones de los precios del algodón. ¿Cuáles son otras aplicaciones de los fractales a la economía? (Evidentemente, pueden ser demasiadas o muy pocas, pero, no obstante, merece la pena una respuesta que recoja referencias e indicaciones sobre algunas de ellas).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jason Baker
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La aplicación original de Mandelbrot a los precios del algodón, La variación de ciertos precios especulativos Distribución estable de Lévy con un parámetro de estabilidad $\alpha$ abajo 2. ( $\alpha=2$ corresponde a la distribución normal).
Para ser honesto, no estoy seguro de cómo esto fue una aplicación de "fractales" donde las contribuciones anteriores no lo fueron. Mientras que las trayectorias de muestra del proceso estable de Lévy que investigamos tienen características fractales -por ejemplo, un dimensión fractal -también lo hace el viejo movimiento browniano, que tiene una dimensión fractal de 1,5. De hecho, la relación entre la dimensión fractal $D$ y el parámetro de estabilidad $\alpha$ es $D=2-1/\alpha$ por lo que los procesos estables de Lévy con $\alpha\in (1,2)$ realmente tienen un $D$ más cerca de 1 que el movimiento browniano; en cierto sentido, son menos ¡fractal!
La contribución de Mandelbrot aquí fue, creo, ilustrar la rica variedad de posibles procesos estocásticos que pueden seguir los precios de los activos. (Propuso, por ejemplo, procesos estables de Lévy, como en el artículo sobre el precio del algodón, y procesos estables de Lévy, más tarde , movimiento browniano fraccionario .
Como este no es mi campo (y de momento me baso en conocimientos de licenciatura medio recordados), no puedo decir demasiado sobre la vanguardia de la investigación en este campo. Sí sé que distribuciones estables de Lévy "templadas" siguen siendo bastante populares para el modelado. (Estas distribuciones hacen que las colas sean lo suficientemente finas como para que existan todos los momentos, mientras que las distribuciones estables de Lévy habituales con parámetro $\alpha$ no tienen momentos $\alpha$ o superior. No tener un segundo momento finito es un gran problema para las aplicaciones financieras, por lo que es necesaria esta modificación). Las variantes de El movimiento browniano fraccionario sigue siendo común también. Este Artículo de Wikipedia, aunque no está demasiado bien escrito, analiza por qué estos procesos estocásticos pueden ser útiles para la modelización financiera.
Se puede decir que Mandelbrot tiene un legado muy, muy activo en las finanzas.
Jader Dias
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No he leído el siguiente artículo, pero parece que utiliza los fractales en un contexto de teoría de juegos:
Fractal Geometry of Equilibrium Payos in Discounted Supergames, por Kimmo Berg y Mitri Kitti
