Si cualquier bono de cupón cero $P(T)$ puede elegirse como numéraire, entonces por qué puede elegirse como numéraire el bono rodante para cualquier discretización temporal

Question

Consideremos un horizonte temporal finito $[0,T]$ y suponemos que $P(t)$ el bono de cupón cero que vence en $t$ para cualquier $t\in [0,T]$ puede elegirse como un numéraire, es decir, tal que los precios relativos al numéraire de los activos negociados sean martingales.

A continuación, definimos para una discretización temporal dada de $\{0=T_{0}<...< T_{n}=T \}$ el bono rodante $R$ se define como sigue:

$$R(\{T_{0},...,T_{n} \};t):=P(T_{m(t)+1};t)\prod\limits_{i=0}^{m(t)}(1+L(T_{i},T_{i+1};T_{i})(T_{i+1}-T_{i}))$$

donde $L(T_{i},T_{i+1}):= \frac{1}{T_{i+1}-T_{i}}\frac{P(T_{i})-P(T_{i+1})}{P(T_{i+1})}$ es decir, el tipo de interés a plazo y además

$$m(t):=\max\{i:T_{i}\leq t\} $$

Pregunta: ¿Por qué se deduce que, efectivamente, el bono rodante $R$ también puede ser elegido como numéraire? Es decir, podemos asociar una medida $\mathbb Q^{R}$ de manera que el $R$ -los precios relativos de los activos negociados son martingalas bajo esa medida.

Editar :

Supongo que debería editar mi pregunta de la siguiente manera para ser más preciso:

Dado que sabemos que para cada $t \in [0,T]$ la medida martingala $\mathbb Q^{P(t,\cdot)}$ existe, es decir, la dinámica de $\frac{S}{P(t,\cdot)}$ están a la deriva bajo $\mathbb Q^{P(t,\cdot)}$ , donde $S$ representa un activo negociado, ¿cómo sabemos que $R$ ¿tiene necesariamente asociada una medida de martingala? En este caso particular, los forwards $(L_{i})$ para la discretización temporal dada se supone que son los activos negociados. Para que el bono rodante $R$ (para una discretización de tenor dada) para tener una medida de martingala asociada $\mathbb Q^{R}$ necesitamos encontrar la deriva de los activos negociados que hacen $\frac{S}{R}$ sin rumbo bajo $\mathbb Q^{R}$ .

Answer 1

El bono rodante $R(t)$ como se define en su pregunta es un numéraire . De hecho, este bono puede sintetizarse con la siguiente estrategia de negociación iterativa en activos básicos:

1. En cualquier momento $T_i\in\{T_0,\dots,T_{m(t)-1}\}$ invierta su patrimonio disponible en el bono de cupón cero al contado que vence en $T_{i+1}$ , con precio $P(T_i,T_{i+1})$ .
2. En $T_{i+1}$ En el caso de la inversión realizada en 1, usted recibe el producto de su riqueza inicial, compuesta por $1+\tau_iL(T_i,T_{i+1})$ donde $\tau_i:=T_{i+1}-T_i$ .
3. Repita los pasos 1 y 2.

Es fácil ver que la estrategia anterior se autofinancia: una vez iniciada en $T_0$ invirtiendo su riqueza disponible en $P(T_0,T_1)$ No hay necesidad de ninguna entrada o salida de efectivo para continuar. Sólo requiere la compra de activos básicos, a saber, bonos de cupón cero, que son en sí mismos válidos numéraires con procesos de precios positivos. Por lo tanto, el bono rodante también es un numéraire válido.

Alternativamente, podemos referirnos al trabajo seminal de Geman et al. (1995) que estableció numéraire teoría. Trabajar en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})$ en el intervalo $[0,T]$ , a numéraire se define como sigue:

Definición 2. Un numéraire es un proceso de precios $X(t)$ casi con seguridad estrictamente positiva para cada $t\in[0,T]$ .

El proceso de precios de cualquier bono de cupón cero es estrictamente positivo (nótese que los activos negociados son los bonos $P$ no los tipos de interés a plazo $L$ ), por lo que el proceso de precios del bono rodante también es positivo $-$ así $R$ es una opción válida numéraire . Además, según su pregunta editada, ha asumido que existe una medida de martingala para cada uno de los bonos de cupón cero $P(\cdot,T_i)$ para $i=1,\dots,n$ por lo que se cumple la hipótesis 1 de su documento:

Supuesto 1. Existe un activo que no paga dividendos $n(t)$ y una probabilidad $\pi$ equivalente a la probabilidad inicial $P$ tal que para cualquier seguridad básica $S_k$ sin pagos intermedios, el precio de $S_k$ en relación con $n$ es decir $S_k(t)/n(t)$ es una martingala local con respecto a $\pi$ .

Entonces se puede aplicar el Teorema 1, que dice que $R$ induce una nueva medida martingala $\mathbb{Q}^R$ equivalente a las otras medidas de cupón cero (es decir, a plazo) $\mathbb{Q}^{P(\cdot,T_1)},\dots,\mathbb{Q}^{P(\cdot,T_n)}$ . No es necesario determinar la deriva de los activos bajo $\mathbb{Q}^R$ para determinar si existe tal medida. Efectivamente, siempre que se defina la siguiente derivada de Radon-Nikodym para cambiar entre la(s) medida(s) de cero y la(s) de balanceo: $$\left.\frac{\text{d}\mathbb{Q}^R}{\text{d}\mathbb{Q}^{P(\cdot,T_i)}}\right|_{\mathscr{F}_{T_i}}=\frac{R(T_i)P(0,T_i)}{R(0)P(T_i,T_i)}=\frac{R(T_i)P(0,T_i)}{R(0)}$$ Usted sabe que cualquier precio de un activo dividido por el numéraire $R$ será una martingala bajo la medida $\mathbb{Q}^R$ según el mencionado teorema.

La medida asociada al bono rodante suele conocerse como medida puntual o Medida de rodadura Véase, por ejemplo, la Proposición 6.3.3 en el libro de Brigo y Mercurio sobre los tipos de interés. Esta medida fue introducida originalmente por Jamashidian (1997). Otra referencia es Antonov y Lee (2004).

A menudo, la medida rodante se utiliza en la práctica en motores de fijación de precios basados en Monte Carlo, donde la medida teórica de fijación de precios debería ser la de riesgo neutro: para evitar problemas de interpolación, se realiza un cambio de medida desde la medida de riesgo neutro a la medida rodante donde los puntos de anclaje $T_1,\dots,T_n$ se eligen para que coincidan con la red de simulación.

Referencias

Antonov y Lee (2004). "Interest Rate Modelling Framework in Discrete Rolling Spot Measure", disponible en SSRN.

Brigo y Mercurio (2006). Modelos de tipos de interés - Teoría y práctica , Springer.

Geman, El Karoui y Rochet (1995). "Cambios de Numerario, Cambios de Medida de Probabilidad y Valoración de Opciones", Revista de Probabilidad Aplicada , Vol. 32, nº 2, pp. 443-458.

Jamshidian (1997). "Modelos y medidas del Libor y del mercado de swaps", Finanzas y estocástica , vol. 1, pp. 293-330.