El Calendar-Spread-Inequality compara los precios de dos opciones de compra europeas sobre la misma acción subyacente que no paga dividendos, pero con diferentes vencimientos $T_1<T_2$ . Denotemos el valor de una opción de compra con strike $K$ y la madurez $T$ en el momento $t\leq T$ como $C_K(t,T)$ (una puesta será denotada por $P_K(t,T)$ ). Entonces, la desigualdad en el calendario se establece:
$$C_{K'}(t,T_1)\leq C_K(t,T_2),$$
donde $K'=Ke^{-r(T_2-T_1)}$ .
Para demostrarlo, primero consideramos el lema de monotonicidad (véase "An Introduction to Quantitative Finance", de Stephen Blyth), que establece que, bajo el supuesto de no arbitraje, si dos carteras, $A$ y $B$ , tienen valores $V^A(T')\leq V^B(T')$ en el momento $T'$ sus valores deben obedecer $V^A(t)\leq V^B(t)$ en cualquier momento $t\leq T'$ . (No se dará aquí una prueba).
Ahora, considere dos carteras, $A$ y $B$ con $A=\{\text{own one call with strike $ K' $ and maturity $ T_1 $}\}$ y $B=\{\text{own one call with strike $ K $ and maturity $ T_2 $}\}$ . En el momento $T_1$ tenemos $V^A(T_1)=\text{max}\{0,S_{T_1}-K'\}$ .
Según la paridad Put-Call para las opciones europeas: $C_K(t,T)-P_K(t,T)=S_t-Ke^{-r(T-t)}$ lo que significa que \begin{align} C_{K'}(T_1,T_1)=V^A(T_1)&=\text{max}\{0, S_{T_1}-Ke^{-r(T_2-T_1)}\}\\ &=\text{max}\{0,C_K(T_1,T_2)-P_K(T_1,T_2)\}\\ &\leq C_K(T_1,T_2)=V^B(T_1), \end{align} desde $P_K\geq0$ . Por el lema de monotonicidad encontramos que $C_{K'}(t,T_1)\leq C_K(t,T_2)$ para $t\leq T_1$ .
¿Esta prueba es correcta o me he perdido algo?
