Ecuación de Bellman para este problema de programación dinámica

Question

Para el siguiente problema \begin{equation}\max_{(\tilde{c}_t,\tilde{a}_{t+1+s})}\sum_{s=0}^{\infty}\beta ^su(\tilde{c}_{t+s})\end{equation}

según las siguientes restricciones

$\begin{equation} \begin{split} \tilde{c}_t&=(1-\delta )Y_t+a_t-\frac{\tilde{a}_{t+1}}{R_t}\\ \tilde{c}_{t+1+s}&=(1-\delta )Y_{t+1+s}^{e}+\tilde{a}_{t+1+s}-\frac{\tilde{a}_{t+2+s}}{R_{t+1+s}}, \forall s \geq 0 \end{split} \end{equation}$

donde:

$\tilde{c}_t$ : Consumo en el momento $t$

$\tilde{a}_t$ : Riqueza financiera en el momento $t$

$Y_t$ : Ingresos en el momento $t$

$R_t$ : Tipo de interés nominal en el momento $t$

$Y_t^e$ : Ingresos previstos en el momento $t$

Considera que $u(\tilde{c}_{t+s})$ está definida por la función de utilidad isoelástica: $u(\tilde{c}_{t+s})=\frac{\tilde{c}_{t+s}^{1-\frac{1}{\sigma}}-1}{1-\frac{1}{\sigma}}$

Encuentre la función política óptima para $\tilde{c}_t$ .

No sé cómo escribir la ecuación de Bellman porque tengo dos restricciones. ¿Cuál sería el procedimiento óptimo para resolver este problema?

Answer 1

La "segunda" restricción parece redundante y confunde. Reacomode la primera para obtener

$$\tilde{a}_{t+1} = \big[\tilde a_t+(1-\delta )Y_t-\tilde{c}_t\big]R_t$$

Esto nos dice que la riqueza al principio del siguiente período está totalmente determinada por las decisiones del período actual y los estados conocidos, sin ningún tipo de incertidumbre: empezamos con la riqueza dada al principio del período, nuestros ingresos y el tipo de interés se conocen, decidimos y "reservamos" toda la cantidad de consumo (para todo el período, al principio del período), y el resto se convierte en activo con intereses.

¿Por qué la segunda restricción, que mira hacia el futuro, confunde las cosas? Porque para aplicar la Programación Dinámica/Ecuación de Bellman, tiene que darse el caso de que nuestro problema de optimización pueda formularse como una recursivo uno, lo que significa que todo el problema de muchos periodos o incluso de horizonte infinito puede descomponerse en un problema de dos periodos. Y tenemos esta condición en la restricción anterior, no necesitamos la segunda.

Si $V(\tilde a_t)$ es la función de valor, la ecuación de Bellman es entonces

$$V(\tilde a_t) = \max_{\tilde c_t}\big [u(\tilde c_t) + \beta V(\tilde a_{t+1})\big]$$

y debemos encontrar la función política $h(\tilde a_t)=\tilde c_t$ que satisface

$$V(\tilde a_t) = u[h(\tilde a_t)] + \beta V\left[\big(\tilde a_t+(1-\delta )Y_t-h(\tilde a_t)\big)\cdot R_t\right]$$