Fijación de precios del contrato de registro con la EDP de Black-Scholes

Question

Me preguntaba si alguien podría ayudarme con un problema, en relación con la EDP de Merton Black Scholes. Tengo un examen pronto y esta pregunta de un examen antiguo nos ha estado molestando a mí y a un amigo durante bastante tiempo. Simplemente no la entendemos.

La pregunta es la siguiente:

La retribución de un llamado contrato europeo de tronco es $g \left( S_T \right) = \ln \left( S_T / K \right)$ donde $K$ es el precio de ejercicio y S es un activo MBS de riesgo sin dividendos. Encuentre el precio $c(s,t)$ de dicho activo. Pista: Utiliza la EDP de Black-Scholes y date cuenta de que c tiene la siguiente forma:

\begin{equation} c(s,t) = a(t) + b(t) \ln(s/K) \end{equation}

Encuentre las funciones $a(t)$ y $b(t)$ .

He intentado averiguar la solución y ver si hay algo en internet, pero nada funciona. Usar el BS-PDE no ayuda. Toda la ayuda y los consejos se agradecerán enormemente.

Answer 1

La PDE de B/S para un crédito contingente $V(S, t)$ es

\begin{equation} \frac{\partial V}{\partial t} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial V^2}{\partial S^2} - r V = 0 \end{equation}

con la condición de que se cumpla la condición de finalización $V(S, T) = \ln(S / K)$ . Según la pista, la solución a $V(S, t$ ) tiene la forma

\begin{equation} V(S, t) = a(t) + b(t) \ln(S / K). \end{equation}

Dado que la condición terminal debe cumplirse para todos los $S$ se deduce que $a(T) = 0$ , $b(T) = 1$ .

Tome las derivadas parciales de la conjetura para obtener

\begin{eqnarray} \frac{\partial V}{\partial t}(S, t) & = & a'(t) + b'(t) \ln(S / K),\\ \frac{\partial V}{\partial S}(S, t) & = & b(t) \frac{1}{S},\\ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(S, t) & = & -b(t) \frac{1}{S^2}.\\ \end{eqnarray}

Sustituyendo de nuevo se obtiene

\begin{equation} a'(t) + b'(t) \ln(S / K) + r b(t) - \frac{1}{2} \sigma^2 b(t) - r a(t) - r b(t) \ln(S / K) = 0. \end{equation}

Ya que para cada fijo $t$ esta solución tiene que ser válida para todos los valores de $S$ recogemos los términos que contienen $\ln(S / K)$ y obtener las ODEs

\begin{eqnarray} 0 & = & a'(t) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) b(t) - r a(t),\\ 0 & = & \left( b'(t) - r b(t) \right) \ln(S / K) \end{eqnarray}

La solución de la segunda EDO que satisface $b(T) = 1$ es

\begin{equation} b(t) = e^{-r (T - t)}. \end{equation}

La solución de la primera EDO que satisface $a(T) = 0$ es

\begin{equation} a(t) = b(t) \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) (T - t). \end{equation}

Combinando estos resultados se obtiene

\begin{equation} V(S, t) = e^{-r (T - t)} \left[ \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) (T - t) + \ln(S / K) \right]. \end{equation}