¿Cómo puedo encontrar esta expectativa?

Question

Tengo una expectativa dada como: $\mathbb{E}\left(S_{T}\mathbb{1}_{S_{T}\geq K} \right)$

donde $K$ es sólo un número arbitrario (es decir, el precio de ejercicio, pero eso no es importante) y $S$ se puede modelar mediante la ecuación $S_{t} = \exp((r-\frac{1}{2})t + \sigma W_{t})$ . Además, la expectativa está bajo la $\mathbb{P}$ -medida, no la $\mathbb{Q}$ -medida, por lo que efectivamente esta expectativa es $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left(S_{T}\mathbb{1}_{S_{T}\geq K} \right)$

Ahora, al tratar de evaluar $\mathbb{E}\left(\mathbb{1}_{S_{T}\geq K} \right)$ bajo el $\mathbb{Q}$ -entonces resolver esta expectativa es bastante fácil, ya que se puede integrar la SDE y tomar la $\log$ de $S$ para conseguir $\log(S_{T}) = \log(S_{0}) + (r-\frac{1}{2})T + \sigma\sqrt{T}N(0,1)$ (ya que $W_{t}\approx \sqrt{T}N(0,1)$ ) y así tenemos para $\mathbb{E}\left(\mathbb{1}_{S_{T}\geq K} \right) = \mathbb{P}({S_{T}\geq K})$ :

$\log(S_{T}) = (r-\frac{1}{2})T + \sigma\sqrt{T}N(0,1) > \log(K)$ y, por tanto, reordenando esta ecuación se obtiene

$N(0,1) > \frac{\log(K/S_{0}) - (r-\frac{1}{2}\sigma^{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$

y mediante un poco más de reordenación (es decir, sabiendo que $N(0,1)<-x = 1 - N(x)$ finalmente conseguimos $d_{2} = \frac{(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})T + \log(S_{0}/K)}{\sigma\sqrt{T}}$ y por lo tanto $\mathbb{E}\left(\mathbb{1}_{S_{T}\geq K} \right) = N(d_{2})$ .

El problema que tengo ahora sin embargo es que estoy un poco inseguro de cómo encontrar $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left(S_{T}\mathbb{1}_{S_{T}\geq K} \right)$ (es decir, bajo el $\mathbb{P}$ -medida) ya que nunca he hecho teoría de la medida, así que si alguien puede ayudarme se lo agradecería mucho. Gracias de antemano.

Answer 1

En el contexto de la derivación del precio del plain vanilla europeo en el modelo de Black y Scholes (1973), también se evalúa la expectativa

\begin{equation} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left[ S_T \mathrm{1} \left\{ S_T > K \right\} \right] \end{equation}

bajo el $\mathbb{Q}$ (neutral al riesgo). Recordemos que el valor de un contrato es su valor esperado descontado bajo $\mathbb{Q}$ .

Creo que lo que puedes confundir aquí es que la expectativa anterior suele resolverse cambiando a una medida auxiliar bajo la cual el precio de las acciones es el numerario. Esta medida se suele denotar $\mathbb{S}$ pero es diferente de la medida física $\mathbb{P}$ .

Sin embargo, no es necesario cambiar la medida para resolver la expectativa, aunque facilita mucho las cosas una vez que te sientes cómodo con la maquinaria correspondiente. También se puede resolver la integral correspondiente. Sea $\phi(x)$ sea la función de densidad normal estándar. Entonces

\begin{eqnarray} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left[ S_T \mathrm{1} \left\{ S_T > K \right\} \right] & = & \int_{-d_-}^\infty S_0 \exp \left\{ \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T - \sigma \sqrt{T} x \right\} \phi(x) \mathrm{d}x. \end{eqnarray}

Aquí definimos $d_-$ a través de

\begin{eqnarray} S_T > K & \qquad \Leftrightarrow \qquad & S_0 \exp \left\{ \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T - \sigma \sqrt{T} x \right\} > K\\ & & x > \frac{\ln \left( K / S_0 \right) - \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}} =: -d_-. \end{eqnarray}

Sustituyendo por $\phi(x)$ y recogiendo términos en $x$ en la integral da como resultado

\begin{eqnarray} \ldots & = & \int_{-d_-}^\infty S_0 \exp \left\{ \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right\} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left\{ -\frac{x^2}{2} + \sigma \sqrt{T} x \right\} \mathrm{d}x\\ & = & \int_{-d_-}^\infty S_0 \exp \left\{ \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right\} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left\{ -\frac{x^2 - 2 \sigma \sqrt{T} x \pm \sigma^2 T}{2} \right\} \mathrm{d}x\\ & = & S_0 e^{r T} \int_{-d_-}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left\{ -\frac{(x - \sigma \sqrt{T})^2}{2} \right\} \mathrm{d}x. \end{eqnarray}

Aquí completamos el cuadrado en el segundo y tercer paso. Aplique un cambio de variables estableciendo $y = x - \sigma \sqrt{T}$ y se obtiene

\begin{eqnarray} \ldots & = & S_0 e^{r T} \int_{- \left( d_- + \sigma \sqrt{T} \right)}^\infty \phi(y) \mathrm{d}y\\ & = & S_0 e^{r T} \mathcal{N} \left( d_+ \right), \end{eqnarray}

donde definimos $d_+ = d_- + \sigma \sqrt{T}$ .