¿De dónde viene el método de la 1/2 en la Transformada de Fourier para fijar el precio de las opciones?

Question

Estoy leyendo el libro de Jianwe Zhu Aplicaciones de la transformada de Fourier al modelado de sonrisas . En la página 26, el autor describe cómo utilizar la transformada de Fourier para valorar las opciones de compra europeas de tipo vainilla. Si $f_j$ es la transformada de Fourier de la función de densidad de $x = \ln(S)$ (bajo medida $Q$ ), entonces la probabilidad de ejercicio bajo $Q$ (que, es la probabilidad $x > \ln(K)$ ) es

$$F_j (x(T) > a) = \frac{1}{2\pi} \int _{\mathbb{R}} f_j(\phi) \Bigg(\int_a^{\infty} e^{-i\phi x} \mathrm{d}x\Bigg) \mathrm{d}\phi\text{.}\tag{1}$$

Esta ecuación tiene sentido para mí. El autor dice entonces, ecuación (2.17),

Otro cálculo sencillo da como resultado

$$F_j (x(T) > a) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}f_j(\phi)\frac{e^{-i\phi a}}{i\phi}\mathrm{d}\phi \text{.}\tag{2}$$

Esta ecuación no tiene sentido para mí. ¿De dónde viene la ecuación (2)? En concreto, ¿de dónde ha salido el $\frac{1}{2}$ ¿de dónde viene?

Answer 1

Proviene de una aplicación directa del teorema de inversión de Fourier para una FCD:

Para una FCD unidimensional general $F_X(x)$ el teorema de inversión de Fourier puede describirse como

\begin{align} F_X(x) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-iux}\phi_X(u)}{iu} \: du\\ &=\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathcal{R}\left[\frac{e^{-iux}\phi_X(u)}{iu}\right] \: du, \end{align}

donde $\phi_X(u)$ es la función característica de $X$ . Ver Schmelzle (2010) capítulo 3.2 para las derivaciones completas .

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Con respecto a la probabilidad de ejercicio, $F_j(x(T)>a)$ , calcula primero la integral interna:

$$ F_j(x(T)>a) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}}f_j(\phi)\frac{e^{-i\phi a}}{i\phi}\: d\phi. $$

Ahora, mira eso:

\begin{align} F_j(x(T)>a) & = 1-F_j(x(T)\leq a)\\ &= 1 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} f_j(\phi)\frac{e^{-i\phi a}}{i\phi}\: d\phi\right)\\ &=\frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} f_j(\phi)\frac{e^{-i\phi a}}{i\phi}\: d\phi,\\ \end{align} donde nosotros -en la segunda igualdad- hemos utilizado que $F_j(x(T)\leq a)$ es una FCD y hemos insertado su correspondiente contrapartida de inversión de Fourier, como se ha visto anteriormente. Además, hay que tener en cuenta que $f_j(\phi)$ se define como la función característica según la ecuación (2.13) en el libro.