Función de descuento

Question

La empresa A necesita prestar un servicio $p$ a la empresa B. Sin embargo, si la empresa B se reserva el $(1-\alpha)$ fracción de recurso para los clientes de la empresa A, la empresa A ofrecerá un descuento proporcional a ( $1-\alpha$ ) a la empresa B.

La función de utilidad de la empresa A se compone del beneficio obtenido de la empresa B dado como

$$U(A)=\alpha*p*c*f(1-\alpha)$$

c es el coste unitario del recurso $p$ y esta función se maximiza en c.

La utilidad de la empresa B se basa en la función beneficio-coste y viene dada por :

$$U(B)=log(1+\alpha p)-\alpha *p * c * f(1-\alpha)$$

Que se maximiza en $\alpha$

Necesito una función $f(1-\alpha)$ que reduce el precio $p*c$ .

He considerado las siguientes funciones

$$exp(-(1-\alpha))$$ Pero no pude encontrar el valor de $\alpha$ que maximice la utilidad de la empresa B

$$\frac{\alpha p}{(1+(1-\alpha)^2)}$$ Pero esta función tampoco funciona.

Alguna idea para la función $f(1-\alpha)$

Answer 1

Nota: La historia detrás del problema sigue siendo confusa, pero me centraré simplemente en sus funciones de utilidad.

Editar

En el problema, parece que ambos minimizan los costes: $A$ lo hace a través de $c$ y $B$ a través de $\alpha$ . Supongo que quiere una forma funcional que dé una solución de forma cerrada (y no soluciones de esquina). En ese caso, es posible que desee $U$ sea cuasi-cóncava (es decir, que tenga un único máximo). En concreto, se desea que \begin{eqnarray*} \frac{\partial U(A)}{\partial c} >0,&& \frac{\partial^2 U(A)}{\partial c^2} <0, \\ \frac{\partial U(B)}{\partial \alpha} >0,&& \frac{\partial^2 U(B)}{\partial \alpha^2} <0. \end{eqnarray*}

Parece que $f(1-\alpha) = - \ln(1-\alpha)$ satisface esas desigualdades.