Simulación correcta de Monte Carlo de modelos de volatilidad local

Question

Estoy utilizando la simulación de Monte Carlo para hacer evolucionar la siguiente SDE sobre una cuadrícula de puntos de tiempo $0,t_1,...,t_N$ .

\begin{equation} dS(t)=\sigma(t, S(t))dw(t) \end{equation}

Aquí $\sigma(t_i,S(t_i)), i=1,...,N$ se ha determinado previamente a partir de la fórmula de Dupire utilizando opciones europeas que vencen a $t_i$ . Una discretización de Euler de la SDE de $t_{i}$ a $t_{i+1}$ da:

\begin{equation} S(t_{i+1}) = S(t_i) + \sigma(t_i, S(t_{i})) \sqrt{\Delta t_i}\zeta(0,1) \end{equation} donde $\zeta(0,1)$ es una variante gaussiana estándar y $\Delta t_i=t_{i+1}-t_{i}$ . Es decir, dado $S(t_i)$ la volatilidad del periodo $t_i$ a $t_{i+1}$ se interpola a partir de la superficie de volatilidad local en el momento $t_i$ es decir $\sigma(t_i,S(t_i))$ y tomada de forma plana durante el periodo $t_i$ a $t_{i+1}$ .

Pero desde una perspectiva teórica, esto se siente mal. $\sigma(t_i,S(t_i))$ proviene de los argumentos de la proyección de Markov / teorema de Gyongy, es decir, es la volatilidad que debe tomarse del tiempo $0$ al tiempo $t_i$ para que coincida con la verdadera distribución de $S(t_i)$ utilizando una SDE aproximada. Por lo tanto, para igualar la distribución de $S(t_i)$ , yo esperaría que $\sigma(t_i,S(t_i))$ que se aplicará sobre el todo período a partir de hoy (hora $0$ ) a $t_i$ no sólo de $t_i$ a $t_{i+1}$ . Más preocupante, dado que en el paso de tiempo anterior, $t_{i-1}$ a $t_i$ utilizamos la volatilidad de $\sigma(t_{i-1},S(t_{i-1}))$ superficie, no veo cómo podríamos recuperar el tiempo $t_i$ distribución de $S(t_i)$ con este enfoque.

Así que no puedo evitar pensar que al simular desde $t_i$ a $t_{i+1}$ en lugar de interpolar sólo a partir de $\sigma(t_i, S(t_i))$ deberíamos interpolar a partir de ambos $\sigma(t_i,S(t_i))$ y $\sigma(t_{i+1},S(t_{i+1}))$ para deducir una adelante la volatilidad, $\hat{\sigma}(t_i,S(t_i))$ . Algo así como (y esto es sólo una suposición)

\begin{equation} \hat{\sigma}(t_i,S(t_i)) = \sqrt{\frac{\sigma(t_{i+1}, S(t_{i}))^2 t_{i+1}- \sigma(t_i, S(t_i))^2 t_i}{\Delta t_i}} \end{equation}

Como todos los documentos que he leído sólo interpolan a partir de $\sigma(t_i, S(t_i))$ Estoy bastante seguro de que estoy equivocado, pero no veo por qué. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

[Creo] que el problema está en la SDE, más que en el esquema numérico

A simple vista, y como ya comenté, creo que el problema con el que te encuentras proviene más de la EDE subyacente que del esquema de aproximación numérica. Para explicar esto un poco más, vamos a revisar rápidamente el SDE $$ \mathrm{d}S_t = \sigma(t, S_t) \,\mathrm{d}W_t $$ con alguna condición inicial dada (por ejemplo $S_t = S_0$ en $t = 0$ ), que es realmente la solución de la ecuación integral $$ S_t = S_0 + \int_0^{t} \sigma(u, S_u) \,\mathrm{d}W_u. $$ La integral tal y como la estás utilizando se interpreta como una integral Ito, definida como el límite $$ \int_0^{t} \sigma(u, S_u) \,\mathrm{d}W_u = \lim_{\delta t \to 0} \sum_i \sigma(t_i, S_{t_i}) (W_{t_{i+1}} - W_{t_i}). $$

Recordemos que el esquema de Euler-Maruyama no hace más que aproximar esta integral por lo mismo que aparece en el límite. Por tanto, tanto el esquema numérico como el proceso estocástico subyacente adolecen de la deficiencia con la que luchas. En consecuencia, yo no culparía al esquema numérico por la deficiencia de modelización percibida.

Las integrales de Stratonovich parecen encajar mejor

Parece que lo que se busca es un proceso en el que se vea la volatilidad media, sobre todo si se piensa capturar esto con un esquema numérico. Una forma de capturar esto es describiendo el proceso usando una integral/SDE de Stratonovich, donde en su lugar tenemos $$ \int_0^{t} \sigma(u, S_u) \circ \,\mathrm{d}W_u = \lim_{\delta t \to 0} \sum_i \dfrac{\sigma(t_i, S_{t_i}) + \sigma(t_{i+1}, S_{t_{i+1}})}{2} (W_{t_{i+1}} - W_{t_i}), $$ que se escribiría como la SDE $$ \mathrm{d}S_t = \sigma(t, S_t) \circ \,\mathrm{d}W_t. $$

Entonces podrá ver que parece haber una correspondencia mucho más agradable entre la dinámica que desea modelar, el proceso estocástico y el esquema de aproximación numérica. Véase Kloeden y Platen para más detalles sobre cómo aproximar soluciones a las EDEs de Stratonovich.

Algunos comentarios sobre esquemas numéricos, modelización financiera y procesos estocásticos

Cabe destacar que todo esto no es más que un modelo para los mercados financieros y no un análisis matemático estricto (de ahí que esté en Quantitative Finance y no en Maths Overflow). En el mundo real de las finanzas, podría decirse que es igualmente (o incluso más) apropiado utilizar modelos de tiempo discreto. Además, a menudo en la modelización matemática hay que decidir cuál es el modelo subyacente y si es fundamentalmente discreto o continuo. Aunque el continuo suele ser un poco más atractivo desde el punto de vista analítico, si el modelo central es discreto, aproximarlo mediante un proceso continuo y luego aproximarlo de nuevo mediante un proceso discreto es poner innecesariamente el carro delante del caballo.

No obstante, si está seguro de que el problema es la deficiencia del esquema numérico, existen otros innumerables esquemas numéricos, muchos de los cuales pueden resultarle más atractivos o apropiados para sus fines. Basta con coger Kloeden y Platen, y echar un vistazo a los métodos iterativos, los métodos de corrección, los métodos de orden superior, los métodos para integrales de Stratonovich, etc.

Answer 2

A pesar de la excelente respuesta de @oliversm a mi pregunta, creo que también hay que preguntarse cómo interpretar $\sigma(t,S(t))$ en un modelo de vol local.

Dado que $\sigma(t,S(t))$ proviene de una proyección markoviana de un proceso estocástico complicado sobre otro más sencillo, mi interpretación (quizás equivocada) es que debería representar una única volatilidad (condicionada a conocer $S(t_i)$ ) que se utilizará todo el camino desde el tiempo $0$ a $t_i$ para recuperar la verdadera distribución de $S(t_i)$ .

En otras palabras, si quisiera simular $S(t_i)$ del tiempo $0$ a $t_i$ y recuperar la distribución del modelo complejo, lo haría, condicionado a conocer $S(t_i)$ , interpolar el vol de la $\sigma(t_i,S(t_i))$ que calibré para las opciones europeas utilizando el enfoque de volatilidad local de Dupire.

El problema viene con la continuación de la simulación desde $t_i$ a $t_{i+1}$ . El consenso general en la literatura es interpolar la volatilidad de $\sigma(t_{i+1},S(t_{i+1}))$ . ¿Pero cómo puede ser esto correcto? $\sigma(t_{i+1},S(t_{i+1}))$ también resulta de una proyección de Markov, (presumiblemente) también significa que cuando interpolamos esta función (condicionada a conocer $S(t_{i+1})$ ), la volatilidad resultante debe utilizarse de $0$ a $t_{i+1}$ . Pero sólo lo usamos desde $t_i$ a $t_{i+1}$ es decir, sólo para una parte de la línea de tiempo. ¿Cómo podemos entonces esperar recuperar el tiempo $t_{i+1}$ distribución de $S(t_{i+1})$ ? Esto es independiente del esquema numérico que utilicemos.

Una vez que sepamos qué volatilidad se va a utilizar y en qué momento de la simulación, entonces podremos centrarnos en los esquemas numéricos disponibles para aproximar su evolución en el tiempo, teniendo en cuenta la excelente orientación de @oliversm.

Supongo que hay un fallo (o quizás más de uno) en mis argumentos, agradecería a quien pueda arrojar algo de luz.

Gracias.