Derivación de la demanda en la diferenciación vertical con una característica mala

Question

La pregunta de hoy es sobre una variante del marco de diferenciación vertical de Tirole. Estoy atascado pensando en la derivación de la función de demanda y beneficio en la que los consumidores pueden elegir el nivel de $x$ en su última etapa. Supongamos la siguiente utilidad: $$ U = x - x^2 -\theta xd_i - P_i $$

Para simplificar, supongamos que no hay precios ( $P_i = 0$ ) y los ingresos de la empresa son una función (digamos multiplicativa) de $\pi(x_k, d_i)=\sum_kx_kd_i$ donde $k$ indica los consumidores y $i$ la empresa.

En este caso tendríamos $$ 1-2x_k^*-\theta_k d_i = 0 \iff x_k^* = \frac{1-\theta_k d_i}{2}$$

Entonces encuentro al consumidor indiferente como $$ x(1 - x -\theta' d_i) =0$$

La inserción del nivel óptimo de $x$ esto se convierte en: $$ \theta' =1/d_k$$

(esta es también la solución en $x_k^* = 0$ )

Si continúo y supongo el uniforme estándar como una distribución para $\theta \in [0,1]$ la demanda se daría la $\frac{\partial U}{\partial \theta}<0$ : $$D= 1/d_k$$

¿Existe algún problema con este enfoque que sea recursivo? ¿Cuál podría ser una estrategia para resolver este tipo de problema, que no sea estándar en el marco de la diferenciación vertical? ¿Qué estupideces estoy diciendo?

Pregunta relacionada con el modelo original aquí

Answer 1

Tome un consumidor con utilidad $$ U = x - x^2 - \theta x d, $$ donde $x$ es la cantidad de información proporcionada a la empresa y $d$ es la divulgación establecida por la empresa.

El nivel óptimo de $x$ viene dada por la condición de primer orden: $$ 1 - 2 x - \theta d = 0 \to x = \frac{1 - \theta d}{2} $$ Un consumidor comprará a la empresa si su utilidad es mayor que cero. Insertando el valor óptimo de $x$ en la función de utilidad da: $$ x(1 - \theta d - x) = \frac{(1 - \theta d)^2}{4}, $$ que siempre es mayor o igual a cero. Por tanto, todo el mundo comprará a la empresa. Si $\theta \sim U[0,1]$ entonces la cantidad total revelada es: $$ \int_0^1 \frac{1 - \theta d}{2} d\theta = \frac{1}{2}[\theta]^1_0 - \frac{d}{2}\left[\frac{\theta^2}{2}\right]^1_0 = \frac{1}{2} - \frac{d}{4} $$ De ello se desprende que los beneficios de la empresa vienen dados por: $$ d\int_0^1 x_\theta d \theta = \left(\frac{1}{2} - \frac{d}{4}\right) d. $$ Maximizando esto con respecto a $d$ da, $$ \frac{1}{2} - \frac{d}{2} = 0 \to d = 1. $$ Si hay un precio $P> 0$ las cosas cambian. En este caso, el consumidor comprará a la empresa si: $$ \frac{(1 - \theta d)^2}{4} \ge P,\\ \to (1 - \theta d) \ge 2 \sqrt{P},\\ \to \theta \le \frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d} $$ Si el lado derecho está entre cero y uno, entonces la cantidad de consumidores que comprarán a la empresa viene dada por: $$ \frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d} $$ El importe total revelado por estos consumidores viene dado por: $$ \begin{align*} &\int_0^{\frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d}} \frac{1 - \theta d}{2} d\theta = \frac{1}{2}\frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d} - \frac{d}{4}\left(\frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d}\right)^2,\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1 - 2\sqrt{P}}{d}\right)\left(\frac{1 + 2 \sqrt{P}}{2}\right),\\ &= \frac{1}{4d}(1 - 4P) \end{align*} $$ Entonces, los beneficios totales de la empresa vienen dados por la masa total de consumidores que compran a la empresa multiplicada por el precio más el beneficio de la divulgación: $$ \frac{1}{4d}(1 - 4P)d + \frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d}P,\\ = \frac{1}{4}(1 - 4P) + \frac{P}{d} - 2\frac{P^{3/2}}{d} $$ La condición de primer orden con respecto a $P$ está dada por: $$ \begin{align*} &-1 + \frac{1}{d} - 3 \frac{\sqrt{P}}{d} = 0,\\ \to &\sqrt{P} = \frac{1}{3}(1 - d),\\ \to &P = \frac{1}{9}(1 - d)^2 \end{align*} $$ Entonces los beneficios son iguales: $$ \frac{1}{4}\left(1 - \frac{4}{9}(1 - d)^2\right) + \frac{1}{9}\frac{(1-d)^2}{d} - 2 \frac{1}{27d}(1 - d)^3 $$ Esto debe ser maximizado con respecto a $d$ teniendo en cuenta que requerimos $\frac{1 - 2\sqrt{P}}{d}$ esté entre cero y uno.

Los casos en los que $\frac{1 - 2\sqrt{P}}{d}$ es mayor que 1 o menor que cero también se puede considerar. La empresa toma entonces el caso en el que los beneficios son máximos.