Correlación instantánea en el modelo Hull White de 2 factores

Question

Estoy tratando de entender qué parámetro controla la correlación instantánea en el modelo 2 F HW. Es decir, la correlación entre dos índices observados al mismo tiempo. Mi pensamiento es el siguiente:

$$Rate(1)=P(t,x(t),y(t))$$ $$Rate(2)=Q(t,x(t),y(t))$$

Intuitivamente, si sé $Rate(1)$ más la correlación entre los tipos cortos $x(t)$ y $y(t)$ Cuanto mejor pueda predecir $Rate(2)$ y, por lo tanto, la correlación debe ser controlada por la correlación entre los movimientos brownianos.

Sin embargo, la correlación también debe depender de la diferencia de reversión media, porque volvemos a la correlación perfecta (1F HW) si las reversiones medias de los 2 tipos cortos son iguales.

Me pregunto si alguien tiene la expresión de forma cerrada para esta correlación. Estaría muy contento de ver una referencia.

Para la referencia anterior, $P$ y $Q$ son algunas funciones, $x(t)$ y $y(t)$ son las 2 tasas cortas constitutivas del modelo.

Edición: Para aclarar, estoy preguntando por la correlación entre 2 tipos de interés en la misma moneda, pero de diferentes plazos (digamos LIBOR 3M y LIBOR 6M)

Answer 1

Para entender la correlación en el modelo HW2F (o G2++) basta con calcular la correlación para el logaritmo de los bonos a dos vencimientos diferentes. Su intuición es correcta, ya que su correlación no sólo está impulsada por la correlación de los dos movimientos brownianos, sino también por sus reversiones medias. El modelo sigue siendo diferente de HW1F mientras las dos reversiones medias sean diferentes. Recordemos la dinámica del modelo G2++: $$dr_t=\theta_t^\prime+dx_t+dy_t$$ $$dx_t=-ax_t dt +\sigma dW_t^x$$ $$dy_t=-bx_t dt +\eta dW_t^y$$ $$d\langle W^x,W^y\rangle_t=\rho dt$$ Cuando $\rho=-1$ tenemos $dr_t=[\theta_t^\prime-(ax_t+by_t)]dt+(\sigma+\eta)dW_t^x$ que será diferente de $x_t+y_t$ proporcionado $a\ne b$ . El plazo con la menor reversión media será efectivamente más volátil que el otro. Esto se justifica teóricamente por la expresión de la correlación: $$Corr(x_t,y_t )=\frac{\sqrt{ab}(1-e^{-(a+b)t})}{(a+b)\sqrt{(1-e^{-2at})(1-e^{-2bt})}}.$$

Ahora podemos centrarnos en el cálculo de la correlación entre los tipos a largo y a corto plazo. Consideremos los tipos a corto y largo plazo expresados en términos de log ZCB: $P(t,T)=\exp{r(t,T)(T-t)}$ y calculemos la correlación entre $P(t,T_1)$ y $P(t,T_2)$ con $T_1<T_2$ . $$\ln(P(t,T))=-\int_t^T _sds-\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a}x_t-\frac{1-e^{-b(T-t)}}{b}y_t+\frac{1}{2} V(t,T)$$ con $V(t,T)$ siendo la varianza condicional de la tasa a corto plazo, \begin{align} V(t,T) &= \frac{\sigma^2}{a^2}\left[(T-t)-2\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a}+\frac{1-e^{-2a(T-t)}}{2a}\right]\\ &+\frac{\eta^2}{b^2}\left[(T-t)-2\frac{1-e^{-b(T-t)}}{b}+\frac{1-e^{-2b(T-t)}}{2b}\right]\\ &+2\rho\frac{\sigma\eta}{ab}\left[(T-t)-\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a}-\frac{1-e^{-b(T-t)}}{b}+\frac{1-e^{-(a+b)(T-t)}}{a+b}\right] \end{align} En función de la hora $\tau$ filtración, $x_t$ y $y_t$ son procesos estocásticos con distribución normal, mientras que los otros dos términos son deterministas. Así, podemos estudiar la covarianza de los dos bonos con diferente vencimiento y obtener: \begin{align} Cov_\tau(\ln P(t,T_1),\ln P(t,T_2))&=\mathbb{E}_\tau\left[\left(\frac{1-e^{-a(T_1-t)}}{a}\sigma\int_\tau^t e^{-a(t-u)}dW_u^x+\frac{1-e^{-b(T_1-t)}}{b}\eta\int_\tau^te^{-b(t-u)}dW_u^y\right)\left(\frac{1-e^{-a(T_2-t)}}{a}\sigma\int_\tau^te^{-a(t-u)}dW_u^x+\frac{1-e^{-b(T_2-t)}}{b}\eta\int_\tau^te^{-b(t-u)}dW_u^y\right)\right]\\ &=\frac{(1-e^{-a(T_1-t)})(1-e^{-a(T_2-t)})}{2a^3}\sigma^2(1-e^{-2a(t-s)})\\ &+\frac{(1-e^{-b(T_1-t)})(1-e^{-b(T_2-t)})}{2b^3}\eta^2(1-e^{-2b(t-s)}) \\ &+\frac{(1-e^{-a(T_1-t)})(1-e^{-a(T_2-t)})+(1-e^{-b(T_1-t)})(1-e^{-b(T_2-t)})}{ab(a+b)}\rho\sigma\eta(1-e^{-(a+b)(t-s)}). \end{align} $$\Rightarrow \left(\varrho_{(\ln P(t,T_1),\ln P(t,T_2))}\right)_\tau=\frac{Cov_\tau(\ln P(t,T_1),\ln P(t,T_2))}{\sqrt{V(t,T_1)V(t,T_2)}}$$

En este punto se pueden hacer algunas simplificaciones y darse cuenta de que independientemente del valor de $\rho$ el numerador y el denominador de $\left(\varrho_{(\ln P(t,T_1),\ln P(t,T_2))}\right)_\tau$ se anulan si $a=b$ . Ahora puede utilizar la relación Libor-Bono para obtener la correlación entre las libor de 3M y 6M.