Una función v:RK+→R+ se dice que es una función de valoración si
- El valor de la función v en x=0 es 0 : v(0)=0
- v es continua en el dominio RK+ estrictamente creciente y estrictamente cóncavo en RK++
- Para cualquier p∈RK++ el conjunto A(p)={x∈RK+|v(x)≥p⋅x} es compacto, el conjunto A∗(p)=A(p)−{0} no está vacío y se encuentra dentro de RK++ .
Demuestre que a si v es una función de valoración, para cada p∈RK++ para cada x∈RK++ existe t>0 lo suficientemente pequeño como para que v(tx)>p⋅tx
En otras palabras, para cada p>0 , si se amplía el conjunto A(p) suficientemente cerca del origen, contiene todos los puntos cercanos al origen en el primer cuadrante.
Observación 1 : Este es el problema que reduzco de un problema de microeconomía en el que estoy trabajando. Quiero extender la condición de Inada al caso multivariante de forma topológica. Mi función prototipo es f(x,y)=xαyβ donde α+β<1,α>0,β>0 . Esta familia de funciones satisface (1),(2),(3) y la propiedad que quiero demostrar, digamos (4). Intento demostrar o bien (1),(2),(3) => (4) o bien debo incluir (4) como un axioma adicional?
Observación 2 : Algunos ejemplos de A(p)
- Un ejemplo de A(p) cuando p es pequeño
- Un ejemplo de A(p) cuando p es grande
(4) se demuestra por el hecho geométrico de que los contornos se acercan al eje vertical y horizontal cerca de 0 .