Problema aparentemente sencillo de la teoría del consumidor

Question

Una función $v: \mathbb{R}^K_+ \xrightarrow{} \mathbb{R}_+$ se dice que es una función de valoración si

1. El valor de la función $v$ en $x = \textbf{0}$ es $0$ : $v(\textbf{0}) = 0$
2. $v$ es continua en el dominio $\mathbb{R}^K_+$ estrictamente creciente y estrictamente cóncavo en $\mathbb{R}^K_{++}$
3. Para cualquier $p \in \mathbb{R}^K_{++}$ el conjunto $A(p) = \{x \in \mathbb{R}^K_+| v(x) \geq p \cdot x\}$ es compacto, el conjunto $A^*(p) = A (p)-\{\bf{0}\}$ no está vacío y se encuentra dentro de $\mathbb{R}^K_{++}$ .

Demuestre que a si $v$ es una función de valoración, para cada $p \in \mathbb{R}^K_{++}$ para cada $x \in \mathbb{R}^K_{++}$ existe $t>0$ lo suficientemente pequeño como para que $$ v(tx) > p\cdot tx $$

En otras palabras, para cada $p>\bf{0}$ , si se amplía el conjunto $A(p)$ suficientemente cerca del origen, contiene todos los puntos cercanos al origen en el primer cuadrante.

Observación 1 : Este es el problema que reduzco de un problema de microeconomía en el que estoy trabajando. Quiero extender la condición de Inada al caso multivariante de forma topológica. Mi función prototipo es $f(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta}$ donde $\alpha+\beta <1, \alpha>0,\beta>0$ . Esta familia de funciones satisface (1),(2),(3) y la propiedad que quiero demostrar, digamos (4). Intento demostrar o bien (1),(2),(3) => (4) o bien debo incluir (4) como un axioma adicional?

Observación 2 : Algunos ejemplos de $A(p)$

1. Un ejemplo de A(p) cuando p es pequeño

2. Un ejemplo de A(p) cuando p es grande

(4) se demuestra por el hecho geométrico de que los contornos se acercan al eje vertical y horizontal cerca de $0$ .

Answer 1

Efectivamente, se deduce de las tres primeras condiciones, aunque no he encontrado una prueba sencilla. Aquí hay una complicada:

Observe primero que, $v(tx)>p\cdot tx$ con $t>0$ equivale a $v(tx)/t>px$ . Al sustituir $p$ por algún múltiplo, podemos ver que el lado derecho puede tomar cualquier valor sin cambiar el valor izquierdo. La función $t\mapsto v(tx)$ es estrictamente cóncavo, estrictamente creciente y tiene valor $0$ en $0$ . El problema es entonces equivalente a demostrar que su derivada derecha es infinita para todo $x\gg 0$ . Que el derecho derivado existe se deduce de la concavidad de $v$ .

Resulta que basta con encontrar un solo $x^*\gg0$ tal que $t\mapsto v(tx^*)$ tiene una derivada derecha infinita en $0$ .

Para ver esto, dejemos $x\gg 0$ . Hay algunos $\delta>0$ tal que $x\gg \delta x^*$ . Toma un poco de $K>0$ . Para $t>0$ lo suficientemente pequeño, tenemos $v\big(\delta t~x^*\big)/(\delta t)>K/\delta $ o $v(\delta t x^*)/t>K.$ Desde $v$ es estrictamente creciente en el interior, $v(tx)/t>v(t\delta x^*)/t>K$ para $t>0$ lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, la función $t\mapsto v(tx)$ debe tener una derivada derecha infinita en $0$ .

Queda por encontrar el maldito $x^*$ . Sea $\Delta$ sea el $K-1$ -simplex unitario. Para cada $N$ debe existir algún $x\in\Delta$ tal que la función $t\mapsto v(tx)$ tiene una derivada derecha de al menos $N$ en $0$ . De lo contrario, para $p=(N,N,\ldots,N)$ tendríamos $A(p)-\{0\}=\emptyset.$ También, $A(p)-\{0\}\subseteq\mathbb{R}^K_{++}$ implica que tal $x$ debe ser positivo en cada coordenada. Por lo tanto, dejemos que $x_n\in\Delta$ sea tal que $t\mapsto v(tx_n)$ tiene una derivada derecha de al menos $n$ en $0$ . Ahora dejemos que $$x^*=\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2^i}x_{2^i}.$$ Que la serie correspondiente converge se deduce de que cualquier norma está acotada en el conjunto compacto $\Delta$ y la convergencia absoluta implica la convergencia . Claramente, $x^*\gg 0$ desde $x_{2^i}\gg 0$ para todos $i$ . Queda por demostrar que $t\mapsto v(tx^*)$ tiene una derivada derecha infinita en $0$ . Desde $$t^{-1}~v\bigg(t\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2^i}x_{2^i}\bigg)>t^{-1}~v\bigg(t\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i}x_{2^i}\bigg)$$ para todos $n$ por $v$ siendo estrictamente creciente en el interior, basta con demostrar que para cada $K>0$ existe alguna $n$ tal que $$t^{-1}~v\bigg(t\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i}x_{2^i}\bigg)>K$$ para $t>0$ lo suficientemente pequeño. Dejemos que $S_n=\big(\sum_{i=1}^n 1/2^i\big)^{-1}$ y observe que $$t^{-1}v\bigg(tS_n\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i}x_{2^i}\bigg)=t^{-1}v\bigg(\sum_{i=1}^n S_n\frac{1}{2^i}t x_{2^i}\bigg)\geq\sum_{i=1}^n S_n\frac{1}{2^i}t^{-1}v(tx_{2^i})$$ por la concavidad de $v$ . Desde $\lim_{t\downarrow 0}t^{-1}v(t x_{2^i})\geq 2^i$ esta suma es casi $S_n n$ para $t>0$ lo suficientemente pequeño. Ahora $S_n$ converge a $1$ Así que $S_n n$ es mayor que $K$ para $n$ lo suficientemente grande y $t>0$ lo suficientemente pequeño.