Estos cálculos se complican rápidamente, incluso en el caso bivariante, y es mejor realizarlos mediante simulaciones. Dicho esto, la cuestión básica sobre la diferencia fundamental entre la optimización que utiliza el riesgo de cola frente a las medidas de riesgo basadas en la varianza puede ilustrarse con un cálculo sencillo que utiliza únicamente la rentabilidad total de la cartera.
En pocas palabras, la diferencia filosófica y práctica es que las medidas de riesgo de cola sólo se centran en las colas, mientras que la varianza incorpora información de toda la distribución. Todas las demás diferencias se derivan de esta distinción básica.
Descomposición cola/no cola
Creo que es completamente suficiente analizar el caso univariante. Sea $S$ denotan la rentabilidad total de la cartera (por ejemplo $S = wX + (1-w)Y$ para dos activos $X$ y $Y$ con peso $0\leq w \leq 1$ ).
Con la probabilidad de cola $0<q < 1$ y el cuantil de cola $s_q$ ( es decir $\mathbb{P}[S<s_q] = q$ ) podemos distinguir entre la cola $\{ S \leq s_q\}$ y no de cola $\{ S > s_q\}$ regiones de $S$ utilizando la variable Bernoulli $Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $ . Sea $F_S$ sea la distribución de $S$ y $\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$ sea la distribución condicional superior o no de cola y $\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$ sea la distribución condicional de la cola inferior. Estas distribuciones son inferior y superior respectivamente distribuciones truncadas . Además, necesitamos $\hat{e}$ y $\check{e}$ las expectativas y las desviaciones $\hat{v}^2$ y $\check{v}^2$ de $\hat{F}$ y $\check{F}$ .
Para simplificar, supongamos que $S$ tiene una densidad continua. Entonces $-\check{e}$ es el déficit esperado de $S$ . Por el ley de la expectativa total utilizando $\mathbb{E}[S]=0$ uno ve eso: $$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$ o $$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$
De la misma manera, sólo que ahora utilizando el ley de la varianza total podemos separar la Varianza de $S$ : $$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$ Para el tercer término se utiliza el hecho de que $Z$ es Bernoulli con $\mathbb{P}[Z=1]=q$ y la relación $(\ref{1})$ entre los dos valores posibles de $\mathbb{E}[S\mid Z].$
Interpretación
Según $(\ref{2})$ la varianza puede descomponerse en dos varianzas "internas", es decir, la varianza de cola y la de no cola, y una varianza "intermedia" derivada de la diferencia de medias entre la cola y la no cola.
Así que sí, efectivamente, un gran déficit esperado impulsará la varianza. En ese sentido, la optimización de la varianza y el déficit esperado proporcionarán direcciones similares. Pero la varianza incorpora términos adicionales, que son completamente ignorados por la optimización del déficit esperado. Y aunque podría decirse, y en la práctica a menudo $\check{v}^2$ estará estrechamente relacionado con $\check{e}$ por las colas de las distribuciones de activos disponibles, el comportamiento de $\hat{v}^2$ suele ser bastante independiente y algo dominante, sobre todo si $q$ es muy pequeño. En la optimización de la varianza tiene mucho sentido asumir más riesgo de cola para deshacerse de la volatilidad que no es de cola.
Este comportamiento miope es también la razón por la que la optimización del déficit esperado puro (o del valor en riesgo) será rara en la práctica. No es un consuelo estar bien gestionado en un nivel de 1 en 100 años, si se incurre regularmente en pérdidas.
