Estoy luchando por derivar un primer orden en este modelo con función de producción Cobb-Douglas y agregador laboral CES con dos tipos de mano de obra (aquí hombre y mujer, pero podrían ser igualmente de baja y alta cualificación).
Configurar : Función de producción Cobb-Douglas $$ Y = A K^{\alpha}L^{(1-\alpha)} \tag{1}\label{1} $$ donde $K$ es el capital y $L$ es el trabajo, y $A$ la PTF. Hay dos tipos de mano de obra $i \in \{F,M\}$ que se agregan con una elasticidad de sustitución constante $$ L = \left[(1-\lambda) (a_M M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} +\lambda(a_F F)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} \tag{2}\label{2} $$ donde $\sigma$ representa la elasticidad de sustitución entre $M$ y $F$ , $a_M$ y $a_F$ son términos de productividad, y $\lambda$ es el parámetro de la acción. Combinando estas dos ecuaciones se obtiene $$ Y = A K^{\alpha} \left[(1-\lambda) (a_M M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} +\lambda(a_F F)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}} \tag{3}\label{3} $$
Solución : Si se fijan los productos marginales del trabajo iguales al salario, se obtendrá $$ W^{F} = (1-\alpha)\lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{-\alpha} \times \left[ (1-\lambda) \left( \frac{A_MM}{a_FF}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+\lambda \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} \tag{4.1}\label{4.1} $$ $$ W^{M} = (1-\alpha)(1-\lambda) a_M A K^{\alpha} (a_MM)^{-\alpha} \times \left[ (1-\lambda) \left( \frac{A_FF}{a_MM}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} \tag{4.2}\label{4.2} $$
Pasos : Entonces, quería obtener el foc de la ecuación $ \eqref{3} $ para obtener el producto marginal de cada tipo de trabajo y haciendo la regla de la doble cadena para cada tramo de potencia, pero mi resultado parece no simplificarse a lo que debería. $$ \frac{\partial Y}{\partial F} = (1-\alpha) \lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{\frac{-1}{\sigma}} \times \left[(1-\lambda) (a_MM)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}} + \lambda(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} $$
Editar : Editado el FoC para el error. Y para cerrar esto, pongo aquí la simplificación como se sugiere en la respuesta (espero que sin errores tipográficos): $$ = (1-\alpha) \lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{\frac{-1}{\sigma}} \times \left[\left((1-\lambda) (a_MM)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}} + \lambda(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}}\right) \times \frac{(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}}}{(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} $$
$$ = (1-\alpha) \lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{\frac{-1}{\sigma}} \times \left[(1-\lambda) \left(\frac{A_MM}{a_FF}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+ \lambda \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} \times (a_FF)^{\frac{1-\alpha \sigma}{\sigma}} $$
$$ = (1-\alpha)\lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{-\alpha} \times \left[ (1-\lambda) \left( \frac{A_MM}{a_FF}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+\lambda \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} $$
Fuentes : Cahuc, P., Carcillo, S., & Zylberberg, A. (2014). Economía del trabajo. MIT press. Capítulo 3
Acemoglu, D., Autor, D. H., & Lyle, D. (2004). Mujeres, guerra y salarios: The effect of female labour supply on the wage structure at midcentury. Journal of political Economy, 112(3), 497-551.
