¿Por qué una función homotética tiene una relación constante de productos marginales a lo largo de los rayos?

Question

Un ordenamiento homotético se define como

$x \succeq y \Rightarrow \lambda x \succeq \lambda y \qquad \forall \lambda >0$

donde $x,y \in \mathbb{R}^n$

Entonces, cualquier función diferenciable que represente la ordenación tiene la propiedad

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\lambda x)= k \frac{\partial f}{\partial x_i }(x)$

con $k,\lambda >0$

¿Cómo se obtienen estos resultados?

Puedo ver cómo podemos derivar propiedades de los valores de la función a partir de la homotecia, pero no tengo idea de cómo podemos decir algo sobre sus derivadas.

Answer 1

Una función homotética se puede caracterizar como sigue: Sea $f(\mathbf x)$ , $\mathbf x \in \mathbb R^n$ sea una función homogénea de grado $r$ . Sea $g()$ sea una función con $g'\neq 0$ . Entonces

$$G(\mathbf x) = g[f(\mathbf x)]$$ es homotético. Como $f(\mathbf x)$ es homogénea de grado $r$ tenemos que

$$f(\lambda \mathbf x) = \lambda ^ rf(\mathbf x) $$

Entonces

$$G(\lambda \mathbf x) = g[\lambda ^ r f(\mathbf x)]$$ y así

$$\frac{\partial G(\lambda x)}{\partial x_i}=g'[f(\lambda x)]\cdot \lambda ^r \frac{f(x)}{\partial x_i}=\lambda^r \cdot\frac{g'[f(\lambda x)]}{g'[f(x)]}\frac{\partial G(x)}{\partial x_i}$$

Evidentemente, también tendremos

$$\frac{\partial G(\lambda x)}{\partial x_j}=g'[f(\lambda x)]\cdot \lambda ^r \frac{f(x)}{\partial x_j}=\lambda^r \cdot\frac{g'[f(\lambda x)]}{g'[f(x)]}\frac{\partial G(x)}{\partial x_j}$$

lo que lleva a la caracterización de las funciones homotéticas como "MRS constante a lo largo de los rayos",

$$\frac{\partial G(\lambda x) / \partial x_i}{\partial G(\lambda x) / \partial x_j} = \frac{\partial G (x) / \partial x_i}{\partial G( x) / \partial x_j}$$

(véase Simon y Blume 1994, p. 503).