Mostrando a BM $W(s)$ es independiente de $W(t)-W(s)$

Question

Considere $0\leq s<t$ donde $t,s$ representan el índice de tiempo.

Quiero mostrar un movimiento browniano $W(s)$ es independiente de $W(t)-W(s)$ .

En concreto, demuestre que $E[W(s)(W(t)-W(s))]=0$

Prueba:

Escribir $W(s)$ como una suma telescópica y utilizando la definición $W(0)=0$ ,

$W(s)=W(s)-W(s-1)+W(s-1)-W(s-2)+...-W(1)+W(1)-W(0).$

Puede hacer lo mismo para $W(t)-W(s).$

Denote la serie telescópica de $W(s)$ como A y $W(t)-W(s)$ como B.

Considere $E[W(s)(W(t)-W(s))]$ .

Esto es $E[AB].$

Pero como $AB$ es simplemente una suma de productos cruzados de incrementos independientes y cada incremento se distribuye normalmente con media cero, $E[AB]=0$ . QED.

Pregunta.

1. ¿Esta prueba es correcta?

2. ¿Existe una prueba "más fácil"?

Answer 1

En algunos libros, lo que se quiere demostrar es sólo parte de la definición del movimiento browniano. En otros, como parte de la definición del M.B., dan la siguiente condición:

$$\text { for } 0 \leq s < t < \infty, W_t - W_s \ \text{is independent of } \mathscr{F}_s \tag*{(*)}$$ Entonces, estoy asumiendo que dado (*) quieres probar que las variables aleatorias $W_s$ y $W_t-W_s$ son independientes.

Respuesta a sus preguntas:

1. No, su prueba no es correcta. Si tenemos dos variables aleatorias $X$ y $Y$ , covarianza $(X,Y)$ =0 no implica que $X$ y $Y$ son independientes.

2. Una posible prueba es la siguiente. Necesitaremos el siguiente teorema.

Teorema . [Teorema de Kac] Sea $X_1$ y $X_2$ sea $\mathbb{R}$ - variables aleatorias valoradas. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) $X_1$ y $X_2$ son independientes.

(ii) Para todos los $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ $$Ee^{\lambda_1 X_1 > + \lambda_2 X_2} = E e^{\lambda_1 X_1} Ee^{\lambda_2 X_2}.$$

Prueba ( $W_t -W_s$ y $W_s$ son independientes).

Dejemos que $a,b \in \mathbb R.$ Entonces $$\begin{align*} E[e^{aW_s+b(W_t-W_s)}]&=E[E[e^{aW_s+b(W_t-W_s)}|\mathscr{F}_s]] \tag*{tower property} \\ &=E[e^{aW_s} E[e^{b(W_t-W_s)}|\mathscr{F}_s]] \tag*{$W_s \in \mathscr{F}_s$} \\ &= E[e^{aW_s} E[e^{b(W_t-W_s)}]] \tag*{condition (*)} \\ &= E[e^{aW_s}] E[e^{b(W_t-W_s)}] \end{align*}$$