Cambio al mundo de la probabilidad martingala

Question

Esta pregunta me está fastidiando mucho y estoy luchando por hacer la prueba final, no tengo ningún problema en obtener el ajuste a la tasa de deriva necesario para colapsar el término de deriva y convertirlo en una medida martingala que percibo que es = u/sigma, sin embargo, Estoy luchando para encontrar lo que la fucntion de S es que hace que la medida de una martingala, de mis libros de texto dice que la función debe ser S_t = S * t + u / sigma * t, sin embargo, cuando realizo itos lema en este resultado me parece que no puede obtener una tasa de deriva de cero, (También estoy asumiendo que S * t = S_0), cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Suponemos que, bajo la medida de probabilidad $P$ , \begin{align*} dS_t = S_t(\mu dt +\sigma dW_t), \end{align*} donde $\{W_t, \, t \ge0\}$ es un movimiento browniano estándar. Tenga en cuenta que, \begin{align*} dS_t=\sigma S_t d\left(\frac{\mu}{\sigma}t+ W_t \right). \end{align*} Se necesita la medida de probabilidad $Q$ tal que, bajo $Q$ el proceso $\{W_t + \frac{\mu}{\sigma}t, \, t\ge 0\}$ es un movimiento browniano estándar. Para ello, definimos la medida $Q$ tal que \begin{align*} \frac{dQ}{dP}\big|_t = \exp\left(-\frac{1}{2}\left( \frac{\mu}{\sigma}\right)^2 t-\frac{\mu}{\sigma} W_t\right). \end{align*} Entonces, por el teorema de Girsanov, $Q$ es una medida de probabilidad, y el proceso $\{\widehat{W}_t, \, t\ge 0\}$ , donde $\widehat{W}_t=W_t + \frac{\mu}{\sigma}t$ es un movimiento browniano estándar bajo $Q$ . Además, como \begin{align*} dS_t =\sigma S_t d\widehat{W}_t, \end{align*} $\{S_t, \, t\ge 0\}$ es una martingala bajo $Q$ .