Integración y expectativa del movimiento browniano geométrico

Question

Dejemos que el precio de las acciones S siga el movimiento geométrico browniano: $$dS=\mu Sdt+\sigma Sdz$$ $$\frac{dS}S=\mu dt+\sigma dz$$

donde $dz$ es un proceso wiener.

Integrando ingenuamente la segunda ecuación anterior en el tiempo $t$ da

$$ \int^T_0\frac{1}SdS=\int^T_0\mu dt +\int^T_0\sigma dz$$ $$=ln(S_T/S_0)=\mu(T-0)+\sigma (z_T-z_0)$$

pero recuerdo que esto es incorrecto... $\frac{dS}S$ no tiene realmente un significado físico y hay que aplicar las reglas del cálculo estocástico. Pero, ¿cómo puedo explicar fácilmente y con claridad a alguien nuevo en el cálculo estocástico que esta es una afirmación errónea?

¿Se puede concluir entonces que

$$ E\left[\int^T_0\frac{1}SdS\right]=\mu T+ 0 $$ ? Tengo muchas dudas, pero me cuesta explicar por qué esto no tiene sentido.

Dado que a partir del lema de Ito, el diferencial de log de $S$ se muestra como $$ dlog(S_t)=(\mu -\sigma^2/2)dt+\sigma dz $$ Creo que debe haber algún factor de corrección en la integral anterior tal que $$ E\left[\int^T_0\frac{1}SdS\right] \neq \mu T $$

Answer 1

Desde $dS_t = \mu Sdt+\sigma Sdz$ , se tiene por las propiedades de la Integral de Ito,

\begin{align*} E\left[ \int_0^T \frac{1}{S} dS \right] &= E\left[ \int_0^T\frac{1}{S} \mu Sdt\right] + E\left[\int_0^T \frac{1}{S} \sigma S dz\right] \\ &= \int_0^T \mu dt + 0 \\ &= \mu T. \end{align*}

Nótese que este resultado tiene sentido. Integrando $\frac{dS}{S}$ es como sumar todos los rendimientos de $S_t$ cuya deriva es $e^{\mu t}$ .