Inferencia de parámetros Volatilidad estocástica

Question

Al calibrar el modelo Heston, por ejemplo;

\begin{align} d S_{t}=\mu S_{t} d t+\sqrt{\nu_{t}} S_{t} d W_{t}^{S} \\ d \nu_{t}=\kappa\left(\theta-\nu_{t}\right) d t+\xi \sqrt{\nu_{t}} d W_{t}^{\nu} \end{align}

se obtendrán parámetros neutros en cuanto al riesgo, ya que estamos extrapolando a partir de instrumentos de referencia. ¿Pero estos parámetros son diarios o anuales? Por ejemplo, si obtengo $\kappa = 0.5$ ¿es anual o diaria?

Answer 1

Hay muchas formas de estimar los parámetros de un modelo.

En tu caso, si vas a utilizar sólo datos de opciones, te recomiendo encarecidamente que definas tu error de fijación de precios en el espacio de volatilidad implícita (Black-Scholes-Merton). Concretamente, yo lo minimizaría: \begin{equation} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left( IV(C_{it}^\text{model}, \Theta) - IV(C_{it}^\text{observed}) \right)^2 \end{equation} donde $\Theta$ es un vector de valores de parámetros relevantes. En otras palabras, se invierte la fórmula BSM sobre el modelo y el precio observado y se intenta obtener el mejor ajuste a la superficie de volatilidad.

Ahora bien, si hace esto, tiene que pensar que la fijación de precios se hace (normalmente) en la medida Q, no en la medida P. En otras palabras, tienes que utilizar la dinámica neutral al riesgo donde la tasa de crecimiento esperada de tu acción es la tasa de rendimiento libre de riesgo. Lo que nos muestras aquí es el modelo de Heston (1993). Su documento original te da una opción para el kernel de fijación de precios basado en un modelo de consumo, la dinámica neutral al riesgo resultante tanto para el precio como para los procesos de volatilidad, así como las ecuaciones que necesitas para fijar el precio de las opciones de compra europeas mediante la transformada inversa de Fourrier. En esencia, lo que nos muestra aquí se interpretaría normalmente como el proceso físico y no como el proceso neutral al riesgo.

Como dice la gente, tendrás que hacer un elección para qué $\Delta t=1$ unidades significa. En particular, en su proceso de riesgo neutral, la tasa libre de riesgo aparecerá... Para la valoración de opciones, no merece la pena molestarse en modelizar su dinámica (véase, por ejemplo, Bakshi,Cao y Chen 1997), así que simplemente utilizamos el tipo como algo dado: se busca el rendimiento de algo como un bono del Tesoro de EE.UU. y se elige uno con el vencimiento que mejor se ajuste al tiempo hasta el vencimiento de su contrato de opciones. Si expresa esto en valores anuales, todo lo demás se expresará en valores anuales. Por comodidad, se suele pensar en un día de negociación como $\Delta t$ cuando se habla de contratos de opciones a semanas y meses vista. Así, se podría tomar el rendimiento anualizado y dividirlo por 252 o 365, dependiendo de si se quiere pensar en días hábiles o sólo en días.

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Sidenote

También puede proceder a una estimación secuencial en la que ajuste los rendimientos históricos y, a continuación, estime sólo los parámetros de su núcleo de fijación de precios (es decir, lo que falta para neutralizar el riesgo del modelo). Del mismo modo, puede realizar una estimación conjunta en la que ajuste tanto los rendimientos como los contratos de opciones. Normalmente, la gente hace esto ponderando dos funciones de verosimilitud, una en rendimientos y otra en errores de fijación de precios de volatilidad implícita, ponderadas por su respectivo número de observaciones.

Personalmente, diría que es una asburda pérdida de tiempo hacer cualquiera de estas cosas con un modelo SV de tiempo continuo: necesitas discretizar el modelo y necesitas usar métodos de filtrado para la probabilidad de los retornos. Si quiere hacer algo de esto, le sugiero encarecidamente que utilice modelos de valoración de opciones GARCH de última generación. Conseguirás tener equivalentes a saltos de intensidad variables en el tiempo, dinámicas de volatilidad altamente persistentes, etc. pero se ejecutará varios miles de veces más rápido.