BNE: Información incompleta Cournot

Question

Considere dos empresas neutrales al riesgo que compiten en cantidades (Cournot). La demanda inversa agregada viene dada por $P(Q) = 3-Q$ . Cada empresa sólo puede observar su propio coste. Encuentre un BNE simétrico.

Los costes marginales constantes se distribuyen de la siguiente manera:

Mi solución:

Hay dos tipos: MC es 1 (tipo bajo) y MC es 2 (tipo alto).

En primer lugar, definamos los tipos y las cantidades

1. Cuando la Empresa 1 es de tipo alto, sabe $q_1 = q_1^H$ , pero cree que $q_2 = 1/6q_2^L + 1/3 q_2^H $

2. Cuando la Empresa 1 es de tipo bajo, sabe $q_1 = q_1^L$ , pero cree que $q_2 = 1/6q_2^H + 1/3 q_2^L $

3. Cuando la empresa 2 es de tipo alto, sabe $q_2 = q_2^H$ , pero cree que $q_1 = 1/6q_1^L + 1/3 q_1^H $

4. Cuando la empresa 2 es de tipo bajo, sabe $q_2 = q_2^L$ , pero cree que $q_1 = 1/3q_1^L + 1/6 q_1^H $

En segundo lugar, calcula los beneficios esperados:

$EU_1^H(q_1^H,q_2) = (3-q_1^H-q_2)q_1^H -2q_1^H$

$EU_1^H(q_1^H,q_2) = (3-q_1^H- [1/6q_2^L + 1/3 q_2^H])q_1^H -2q_1^H$

$EU_1^L(q_1^L,q_2) = (3-q_1^L-q_2)q_1^L -q_1^L$

$EU_1^L(q_1^L,q_2) = (3-q_1^L- [1/3q_2^L + 1/6 q_2^H])q_1^L -q_1^L$

$EU_2^H(q_1,q_2^H) = (3-q_1-q_2^H)q_2^H -2q_2^H$

$EU_2^H(q_1,q_2^H) = (3-[1/6q_1^L + 1/3 q_1^H ]-q_2^H)q_2^H -2q_2^H$

$EU_2^L(q_1,q_2^L) = (3-q_1-q_2^L)q_2^L -q_2^L$

$EU_2^L(q_1,q_2^L) = (3-[1/3q_1^L + 1/6 q_1^H ]-q_2^L)q_2^L -q_2^L$

En tercer lugar, encontrar los BDC:

$$q_1^H = \frac{1-1/6 q_2^L-1/3q_2^H}{2}$$ $$q_1^L = \frac{2-1/3 q_2^L-1/6q_2^H}{2}$$ $$q_2^H = \frac{1-1/6 q_1^L-1/3q_1^H}{2}$$ $$q_2^L = \frac{2-1/3 q_1^L-1/6q_1^H}{2}$$

Finalmente, en el equilibrio, $q_1^H = q_1^L = 2/5$ y $q_2^H = q_2^L = 2/5$

SIN EMBARGO, EN EL MANUAL DE SOLUCIÓN, su solución es muy diferente. ¿Cuál es mi error? ¿Por qué es diferente?

MANUAL DE SOLUCIONES dice:

La utilidad esperada de las empresas de tipo bajo y alto son las siguientes:

$EU_1^L (q_1, q_2')=q_1^L (2-q_1^L-q_2')q_1^L$

$EU_1^H (q_1, q_2^{''})=q_1^H (2-q_1^H-q_2^{''})q_1^H$

$EU_2^L (q_1', q_2)=q_2^L (2-q_1'-q_2^L)q_2^L$

$EU_2^L (q_1^{''}, q_2)=q_2^H (2-q_1^{''}-q_2^H)q_2^H$

Los BDC son

$q_1^L = (2-q_2')/2$

$q_1^H = (1-q_2^{''})/2$

$q_2^L = (2-q_1')/2$

$q_2^H = (1-q_1^{''})/2$

donde se considera el tipo L de la empresa 1. Considera que con una probabilidad de 2/3, la empresa 2 es de tipo bajo y con una probabilidad de 1/3 la empresa 2 es de tipo alto,

$ q_2' = 2/3 q_2^L + 1/3 q_2^H $

$ q_2^{''} = 1/3 q_2^L + 2/3 q_2^H $

$ q_1' = 2/3 q_1^L + 1/3 q_1^H $

$ q_1^{''} = 1/3 q_1^L + 2/3 q_1^H $

En equilibrio, $q_1^H = q_1^L = 5/7$ y $q_2^H = q_2^L = 2/7$

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En el manual de soluciones, especialmente no entiendo la parte de la probabilidad y la última parte (la siguiente:)

donde se considera el tipo L de la empresa 1. Considera que con una probabilidad de 2/3, la empresa 2 es de tipo bajo y con una probabilidad de 1/3 la empresa 2 es de tipo alto,

$ q_2' = 2/3 q_2^L + 1/3 q_2^H $

$ q_2^{''} = 1/3 q_2^L + 2/3 q_2^H $

$ q_1' = 2/3 q_1^L + 1/3 q_1^H $

$ q_1^{''} = 1/3 q_1^L + 2/3 q_1^H $

Por favor, explique la solución del manual o por favor comparta su forma de solución clara más comprensible conmigo. Muchas gracias.

Answer 1

Las probabilidades se obtienen mediante la actualización de Bayes.

Dejemos que $f_i = L$ sea el caso de que la empresa $i$ es baja y deja que $f_i = H$ sea el caso de que la empresa $i$ es un tipo alto.

Supongamos que la empresa 1 sabe que ella misma es un tipo alto entonces: $$ \begin{align*} \Pr(f_2 = H|f_1 = H) &= \frac{\Pr(f_2 = H \text{ and } f_1 = H)}{\Pr(f_1 = H)},\\ &= \frac{1/3}{1/3 + 1/6},\\ &= \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \end{align*} $$ Entonces también $\Pr(f_2 = L|f_1 = H) = 1- \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ .

Las demás probabilidades pueden calcularse de forma similar.

Obsérvese también que para los beneficios esperados que en general, maximizar beneficios esperados no es lo mismo que maximizar el beneficios de jugar contra una empresa con la producción esperada . En el caso de una demanda inversa lineal, probablemente no suponga una diferencia, pero sí podría suponer una diferencia en general (por ejemplo, si la demanda inversa es no lineal). Parece que el manual de soluciones comete un error en este punto.

Los beneficios esperados del manual de soluciones parecen extraños. No deberían estar premultiplicados por $q_1^L$ ( $q_1^H$ etc.)